20.2.2 长期预测

20.2.2 长期预测

对于具有短记忆动态行为的平稳模型,第7章表明长期预测等于该变量的无条件均值。因此,如果我们有兴趣将这些变量预测到足够远的未来,我们需要了解的关于该变量的全部信息就是其动态是否已经消失。对于高度持续性的变量,例如单位根过程,这一结论不再成立。对于具有单位根的模型,长期预测现在等于该变量变化的无条件均值加上当前观测值,因此预测取决于数据的当前水平。对于持续性变量,即使在长期,模型也具有相关信息。一如既往,我们最感兴趣的是基于最后一个观测值的条件预测。7 不幸的是,对于此处分析的非常持续性的模型,无法获得相关结果,因此我们只能遵循文献,考察无条件的 MSE 损失。

假设数据模型由 (20.2) 给出,因此 (20.3) 中的递推仍然适用。预测的构建方式与上述短期情况相同,但现在针对较大的 h 值。为了渐近理论的目的,我们通常令 h 相对于样本量 T 较大,使得 $h=[\lambda T]$ ,其中 λ 是预测期数与样本量的比率。由于 h 现在随着样本量增大而发散,(20.3) 中的不可预测成分 ${\sum }_{i=1}^h{\rho }^{h-i}{\epsilon }_{T+i}$ 也随之发散,因此 MSE 发散。然而,通过 T 对均方误差进行重新标度,可以得到一个稳定的对象,该对象收敛于布朗运动的函数。(20.3) 中的估计误差成分也以相同的速率发散,因此模型估计误差与不可预测成分具有相同的量级,这与短期情况不同。Stock (1996) 和 Phillips (1998) 在比此处更一般化的框架下,以及 Kemp (1999) 和 Turner (2004) 都对使用这种渐近理论方法(其中 ρ 局部接近于 1 且 $h=[\lambda T]$ )的 MSE 渐近性质进行了分析。这些研究由 Elliott (2006) 进行了综述。

为了建立一些结果,令 $h=\left[T\lambda \right]$ ,但现在假设估计使用前 $T-h=T_1$ 个观测值8,因此我们使用观测值 $t=\{1,\dots ,T_1\}$ 来预测 ${\gamma }_T$ 。当模型已知时,用 $T^{-1/2}$ 标度的预测误差为

$$\begin{array}{rl}{T}^{-1/2}{\sum }_{i=1}^h{\rho }^{h-i}{\epsilon }_{T_1+i}=T^{-1/2}(y_{T_1+[T\lambda ]}-{\rho }^h{y}_{T_1})& \\ & =T^{-1/2}(y_T-{\rho }^h{y}_{T_1})\\ & \Rightarrow {\sigma }_{\epsilon }\{M(1)-e^{-\gamma \lambda }M(1-\lambda )\}.\end{array}$$

因此,正如我们可能预期的那样,长期预测是发散的,因为 h 在发散。当 $\rho <1$ 时,该极限平方的期望为 ${\sigma }_{\epsilon }^2(1-{\bar{e}}^{-2\gamma \lambda })\overline{/}(2\gamma )$ ,且独立于9 初始条件 α。在存在单位根的情况下,除以 $T$ 后的预测误差平方的均值等于 $\lambda {\sigma }_{\epsilon }^2$

或者,假设我们施加一个单位根。当 $d_t=1$ 时,这意味着我们使用 ${\gamma }_{T_1}$ 来预测 ${\gamma }_T$ 。标度后的预测误差现在为

$$T^{-1/2}(y_T-y_{T_1})\Rightarrow {\sigma }_{\epsilon }\{M(1)-M(1-\lambda )\}.$$

该式的期望为

$$\frac{1-e^{-\gamma \lambda }}{\gamma }+\frac{({\alpha }^2-1)e^{-2\gamma }(1-e^{\gamma \lambda }{)}^2}{2\gamma }.\text{\hspace{1em}(20.6)}$$

估计误差和不可预测成分现在具有相同的量级,这与固定期数的情况不同。对于 $\rho <1$ ,(20.6) 中的期望大于已知模型的期望。当 $d_t=(1,t)$ 时,由于模型误设误差导致的附加项为

$$T^{-1/2}(y_T-y_{T_1}-{\hat{\varphi }}_{2}h)\Rightarrow {\sigma }_{\epsilon }(M(1)-M(1-\lambda )-\lambda (M(1-\lambda )-M(0))).$$

该项平方的均值表达式冗长,且没有特别的参考价值。

图 20.3:三种不同方法下的长期风险。该图绘制了风险成分 b 作为局部接近单位根参数 γ 的函数,对应三种不同方法:(i) 施加单位根(实线);(ii) 估计模型参数(点划线);(iii) 对单位根进行预检验(虚线)。该图假设预测期为 $\lambda =0.1$ ,即全样本的 10%,并包含一个常数确定性项。

模型参数的估计使得表达式变得更加抽象,尽管这些表达式已在 Stock (1996)、Phillips (1998) 和 Turner (2004) 中给出。我们在此不陈述这些结果,而是注意到估计误差再次与不可预测成分具有相同的量级,这与施加单位根时发现的情况类似。为了直观地展示这些结果,我们考察与短期情况下相同的各种方法之间的权衡,但现在针对长达 $h=40$ 期的更长预测期。

图 20.3 显示了三种方法的相对风险——施加单位根、估计模型参数或基于预检验的混合方法——相对于已知模型下的不可行风险进行度量。第一幅图假设 $d_t=1$，而第二幅图对应 $d_t=(1,t{)}^{\prime }$。每幅图均假设 $\lambda =0.1$。基本结果与固定范围情形下的结果类似，即如果施加单位根接近于正确模型，则该方法表现良好。然而，该方法很快就被简单地估计参数所超越。预检验并不能真正提供一种有用的方式来结合"当根接近 1 时施加根"和"当根远离 1 时估计根"两者的优良性质，因为（如同在平稳情形中所见）预检验方法缺乏足够的检验力，无法在区分变得有用的区域内明确区分这两种选择。

与平稳情形的主要区别在于，"施加单位根"与"估计单位根"效果相当的临界点现在更大，并且出现在 $\gamma$ 距 1 更远的值处。对趋势成分贡献进行估计的需要似乎进一步增大了该临界值。

由于上述分布依赖于 $\gamma$ 的未知值，因此难以针对给定数据 $\{y_1,\dots ,y_{T_1}\}$ 构造 ${\gamma }_T$ 的置信区间。当 $\gamma =0$ 从而存在精确的单位根时，

$$T^{-1/2}(y_T-y_{T_1})\Rightarrow {\sigma }_{\epsilon }^2\{W(1)-W(1-\lambda )\}=\mathrm{N}(0,\lambda {\sigma }_{\epsilon }^2).$$

在这种情况下，使用 $y_T\stackrel{a}{\sim }\mathrm{N}(y_{T_1},h{\sigma }_{\epsilon }^2)$ 构造置信区间是合理的，从而得到 ${\gamma }_T$ 的 $(1-\alpha )\%$ 置信区间 $\{y_{T_1}\pm c{v}_{\alpha }\sqrt{h}{\sigma }_{\epsilon }^2\}$，其中 $c{v}_{\alpha }$ 是 $\alpha \%$ 的临界值。然而，在一般情况下，通过施加单位根或通过估计根所得到的预测误差的分布都将依赖于 $\gamma$（并且可能依赖于 $\alpha$）。目前尚无处理这种依赖性的可用方法。