20.2.1 短期预测

20.2.1 短期预测

当模型参数已知时，(20.3) 中的最优预测为

$$f_{T+h|T}=y_T+({\rho }^h-1)(y_T-{\varphi }^{\prime }{d}_T)+{\varphi }^{\prime }(d_{T+h}-d_T).$$

由此得到的 h 步预测误差为 ${\sum }_{i=1}^h{\rho }^{h-i}{\epsilon }_{T+i}$。预期平方误差损失为 ${\sigma }_{\epsilon }^2(\bar{1}-{\rho }^{2h})/(1-{\rho }^2)$，当 $T$ 变大时，它收敛到 $h{\bar{\sigma }}_{\epsilon }^2$；若 $\gamma =0$，该结果精确成立。因此，$y$ 的不可预测部分贡献了一项随预测期线性增长的项。模型的局部误设定保留了这一项，并进一步增加了一项以速率 $T$ 消失的项。

在预测者中，施加单位根是一种常见的做法。在 $\rho =1$ 的假设下，预测变为 $f_{T+h|T}=y_T+{\varphi }^{\prime }(d_{T+h}-d_T)$。如果 $d_t=1$，则第二项为 0。如果模型还包含时间趋势，则 ${\varphi }^{\prime }(d_{T+h}-d_T)={\varphi }_{2}h$，且 ${\varphi }_2$ 的自然估计量是 $y_t$ 变化的均值——这是在误设定模型下的 MLE。我们可以通过考察对 $\rho$ 局部接近于 1 的模型的预测误差 ${\sum }_{i=1}^h{\rho }^{h-i}{\epsilon }_{T+i}+({\rho }^h-1)(y_T-{\varphi }^{\prime }{d}_T)$ 的渐近近似来研究施加单位根的成本与收益。如上所述，当 $\rho$ 局部接近于 1 时，第一项不可预测且阶数高于第二项。这些项对 MSE 有贡献，但以速率 $T$ 递减为 0。为了看出这一点，注意

$$T^{1/2}({\rho }^h-1)(y_T-{\varphi }^{\prime }{d}_T)\Rightarrow -h\gamma {\sigma }_{\epsilon }M(1),$$

$$E[-h\gamma {\sigma }_{\epsilon }M(1){]}^2={\sigma }_{\epsilon }^2\left\{\frac{h^2\gamma ({\alpha }^2-1)e^{-2\gamma }}{2}+\frac{h^2\gamma }{2}\right\},\text{\hspace{1em}(20.5)}$$

其中 $M(1)$ 在 (20.4) 中定义。这个二阶项是 $\rho$ 在给定样本量下接近 1 的程度（通过 $\gamma$）、预测期 $h$，以及确定性项的范围和初始条件假设的函数。如预期的那样，该项随 $\gamma$（根偏离 1 的程度）和预测期两者都增加——模型误设定的影响随着 $h$ 的增加而累积。在足够大的样本中，初始条件的贡献很小，并且随着 $\gamma$ 远离 0 而迅速消失，因此二阶项大致等于 ${\sigma }_{\epsilon }^2{h}^2\gamma /2$。方程 (20.5) 关于 $\gamma$ 线性增长，关于 $h$ 二次增长，但请注意，预测误差不可预测部分的贡献关于 $h$ 线性增长。

(20.5) 中的表达式可用于理解施加 $\rho =1$ 所带来的 MSE 百分比增加。对于合理的 $\gamma$ 值，施加单位根而非使用 $\rho$ 真实值所导致的 MSE 百分比增加大约等于 $h\gamma /(2T)$。当 $d_t$ 包含时间趋势时，通过 ${\varphi }_2$ 的估计会产生一个额外的效应。使用 $y_{t+h}-y_t$ 的均值，MSE 中额外的二阶项可以近似为 ${\sigma }_{\epsilon }^2{h}^2(\gamma +2)/2$。该表达式表明，对 $\rho$ 施加单位根并通过 $y_t$ 变化的均值估计时间趋势的系数，会使 MSE 增加 $h(\gamma +2)/(2T)$。无论在哪种情况下，如果过程具有强均值回归性或预测期足够长，对模型施加单位根将无法产生良好的预测。

与施加单位根不同，我们可以估计模型参数 $(\rho ,\varphi )$。Phillips (1998) 给出了在最小二乘估计和序列相关情况下的表达式。Ng 和 Vogelsang (2002) 针对各种 OLS 和 GLS 方法解析地考察了单步预测误差，并表明对一阶项（由估计误差引起的项）的渐近近似因估计方法而异。他们的模拟结果表明，GLS 方法（特别是结合初始观测值的方法）优于 OLS 方法。

第三种方法是采用对 $\rho =1$ 的预检验，当预检验未能拒绝时施加单位根，否则估计模型参数。Diebold 和

图 20.1：三种不同方法下的短期风险。该图将风险组成部分 b 绘制为局部接近于 1 的参数 $\gamma$ 的函数，三种不同方法分别为：(i) 施加单位根（实线）；(ii) 估计模型参数（点划线）；(iii) 对单位根进行预检验（虚线）。该图假设了 $h=3$ 期的短期预测期，并包含一个常数确定性项。

Kilian (2000) 在一项蒙特卡洛研究中考察了这种方法，并建议对单位根进行预检验。与所有预检验方法一样（参见第 6 章），基于预检验的预测模型本身可以视为一个估计量，我们可以考察由此产生的风险函数。Elliott (2006) 使用 Dickey 和 Fuller (1979) 的单位根检验比较了三种策略（施加单位根、估计模型参数、预检验）的风险。

在每种情况下，AR(1)模型的风险形式为 ${\sigma }^2(1+T^{-1}{b}_i(\gamma ,h))$，其中 $i\in$ {施加单位根、通过OLS估计参数、使用单位根预检验的混合方法}。相应的图展示了 $b_i(\gamma ,h)$ 的大小作为 $\gamma$ 的函数。这些图可用于近似估计除以样本量后额外的百分比均方误差损失。图20.1显示了仅包含常数项 $d_t=1$ 的模型结果。该图设定 $h=3$，并展示了不同 $\gamma$ 值下的结果。图20.2在 $d_t=(1,t)$ 的情况下重复了这一分析。从这些图中可以得到一些总体结论。首先，施加单位根而不是估计单位根的做法，只有在单位根假设成立的区域附近才有效。与估计自回归模型相比，施加单位根在实际应用中可能是一种较差的方法。其次，与所有预检验方法一样，使用单位根预检验相关的风险函数在预检验的原假设成立时或预检验的功效接近1时（即 $\gamma$ 值较大时）表现良好，但在检验功效介于检验水平和1之间的中间范围内表现较差。这在图中表现为在 $\gamma$ 的中间值处风险函数出现一个较大的凸起。

图20.2：三种不同方法下的短视界风险。该图绘制了风险成分 $b$ 作为局部至单位参数 $\gamma$ 的函数，针对三种不同方法：（i）施加单位根（实线）；（ii）估计模型参数（点划线）；（iii）对单位根进行预检验（虚线）。该图假设短预测视界为 $h=3$ 期，并包含常数项和趋势项作为确定性项。

这些计算均假设存在一个具有接近1的根的持久性自回归过程。其他模型也可以以模拟单位根类型动态的方式产生数据中的持久性。例如，过程参数中的断点可能看起来像是永久性冲击，从而导致单位根或近单位根行为（Perron, 1989）。断点在第19章中讨论。长记忆模型也具有类似的性质。