20.2 单变量预测模型

20.2 单变量预测模型

若 $d_t$ 在未来是完全可预测的，则定义 $d_t$ 为确定性的。例如，$d_t$ 可以是常数、时间趋势或正弦波。当序列的趋势行为是由确定性项引起时，模型估计及预测评估的诸多方面遵循前面章节的讨论。由于 $d_t$ 是完全可预测的（若不存在非确定性项），我们可以考虑预测模型 $y_t=f_t(z_t,\beta )+{\epsilon }_t$，并在均方误差（MSE）损失下估计 $\beta$。对于任意预测步长，预测可通过 ${\hat{f}}_{t+h|t}=f_t(z_{t+h},\hat{\beta })$ 构造，因为 $z_{t+h}$ 在时刻 $t$ 是已知的。因此，不存在关于应当使用直接预测还是迭代预测的问题。若模型足够光滑，$\hat{\beta }$ 的估计量具有一致性和渐近正态性，因此模型选择问题与前面章节所述类似。

考虑以下可能含有单位根的线性模型：

$$\begin{array}{rl}& y_t={\varphi }^{\prime }{d}_t+u_t,t=1,\dots ,T,\\ & (1-\rho L)u_t=v_t,t=2,\dots ,T,\\ & u_1=\xi .\end{array}$$

其中 $d_t$ 由严格外生的确定性项组成，$\beta =({\varphi }^{\prime },\rho {)}^{\prime }$。我们考虑带有常数项或常数项加时间趋势的模型，即 $d_t=1$ 或 $d_t=(1,t{)}^{\prime }$，因此 $\varphi$ 为标量或 $\varphi =({\varphi }_1,{\varphi }_2{)}^{\prime }$；$\xi$ 为初始条件。我们可通过 $v_t=c(L){\epsilon }_t$ 引入额外的序列相关性，其中 ${\epsilon }_t$ 是均值为零、方差为 ${\sigma }_{\epsilon }^2$ 的白噪声项。描述 $y_t$ 动态行为的滞后多项式已被因式分解，使得 $\rho =1-\gamma /T$ 对应该多项式的最大根，且我们假设 $c(L)$ 是一阶可和的，即 ${\sum }_{i=0}^{\infty }|c_i|i<\infty$。我们也可以替代地假设 $v_t$ 是全局协方差平稳的，并且 $T^{-1/2}{\sum }_{t=1}^T{v}_t{\to }^{d}N(0,{\omega }^2)$，其中 ${\omega }^2$ 是 $v_t$ 在频率零处的谱密度除以 $2\pi$。在任一情形下，$y_t-{\varphi }^{\prime }{d}_t$ 的自回归模型被视为该模型平稳动态的一种近似。

当已知 $y_t$ 含有单位根时，许多结果等价于前几章在施加单位根条件下得到的结果。具体而言，在这种情况下可以对被预测变量进行差分，并基于差分数据进行建模。若采用第 7.3 节的迭代预测法，我们可以预测 $\Delta y_{t+1},\dots ,\Delta y_{t+h}$，并用求和式 $y_t+{\sum }_{\tau =1}^h\Delta y_{t+\tau }$ 作为对 $y_{t+h}$ 水平的预测。直接预测法将 $y_{t+h}-y_t$ 对时刻 $t$ 已知的变量进行回归，这些变量可能包括 $y_t$ 变化的滞后项，以及除确定性项外不具有趋势的其他项，从而得到预测 $f_h(z_t,\beta )$。$y_{t+h}$ 水平的预测随后通过 $f_{t+h|t}=y_t+f_h(z_t,\beta )$ 获得。在 MSE 以外的其他损失函数下也有类似结果。

若我们不确定 $y_t$ 是否含有单位根，则会产生与前几章讨论类似的估计误差问题。然而，估计误差的量级在此情形下有所不同，因为参数估计量不再是渐近正态分布的，且通常依赖于根与单位根的接近程度。预测者可在以下方案中选择：(i) 忽略 $\rho \ne 1$ 的可能性，从而在差分形式下估计自回归；(ii) 在水平形式下从自回归中估计 $\rho$；或 (iii) 将两种方法结合，加入单位根的预检验。比较 (i) 和 (ii) 的风险函数是直接的——当 $\rho$ 足够接近 1 时，施加值 1 所得的风险小于估计该参数的风险。随着 $\rho$ 偏离 1，施加不正确的最大根值所带来的误差将增大，并超过估计参数所导致的损失。如同平稳情形，$\rho =1$ 施加于其不成立情形下所产生的风险函数在 $\rho$ 偏离 1 时是无界的，而估计 $\rho$ 所产生的风险对所有 $\rho$ 值都是有界的。

通过递归代换，模型 (20.2) 在 $c(L)=1$ 时可得

$$\begin{array}{l}{y}_{T+h}-y_T={\epsilon }_{T+h}+\rho {\epsilon }_{T+h-1}+\cdots +{\rho }^{h-1}{\epsilon }_{T+1}+({\rho }^h-1)(y_T-{\varphi }^{\prime }{d}_T)\\ +{\varphi }^{\prime }(d_{T+h}-d_T)\\ =\sum _{i=1}^h{\rho }^{h-i}{\epsilon }_{T+i}+({\rho }^h-1)(y_T-{\varphi }^{\prime }{d}_T)+{\varphi }^{\prime }(d_{T+h}-d_T),\end{array}\text{\hspace{1em}(20.3)}$$

因此h步前预测（已知参数时）为 $f_{T+h|T}=y_T+({\rho }^h-1)(y_T-{\varphi }^{\prime }{d}_T)+{\varphi }^{\prime }(d_{T+h}-d_T)$。接下来我们比较上述三种策略。如果在模型上施加单位根且 $d_t=1$，则预测简化为 $y_T$。如果还存在时间趋势，则预测为 $y_T+{\hat{\varphi }}_{2}h$，其中 ${\hat{\varphi }}_2$ 是 ${\varphi }_2$ 的估计量。在估计参数 $(\rho ,\varphi )$ 的第二种策略下，预测为 $y_T+({\hat{\rho }}^h-1)(y_T-{\hat{\varphi }}^{\prime }{d}_T)+{\hat{\varphi }}^{\prime }(d_{T+h}-d_T)$。在这种情况下，可以使用不同的估计量来估计 $(\rho ,\varphi )$。对于自回归参数，没有明显的"最优"估计量，已经提出了许多估计量。然而，通常使用OLS估计量或中位数无偏估计量。此外，最小二乘法可用于估计 $\varphi$，尽管Canjels and Watson (1997)以及Ng and Vogelsang (2002)也建议使用GLS估计量。或者，我们可以通过简单地将 $y_t$ 对 $(y_{t-1},d_t)$ 进行回归来直接估计 $(\rho ,\varphi )$。文献中考虑的最终策略是前两种方法的混合，即使用估计来选择相关预测，或在进行单位根预检验后施加单位根。

为了分析预测误差的行为，我们采用大样本近似，其中 $\rho =1+\gamma /T$，尽管按照该文献的惯例，我们略去了 $\rho$ 对 $T$ 的依赖。对于初始条件，设

$$\xi =\alpha \omega (2\gamma {)}^{-1/2}{T}^{1/2},$$

其中 ${\omega }^2=c(1{)}^2{\sigma }_{\epsilon }^2$，因此当 $\alpha \ne 0$ 时，初始条件渐近地与模型的随机部分同阶。设 $\alpha =1$ 对应于当 $\rho <1$ 时从无条件分布中抽取初始条件。在这些条件下，我们有

$$\begin{array}{r}{T}^{-1/2}(u_{[Ts]})\Rightarrow \omega M(s)=\{\begin{array}{ll}\omega W(s)& \text{for }\gamma =0,\\ \omega \alpha e^{-\gamma s}(2\gamma {)}^{-1/2}+\omega {\int }_0^s{e}^{-\gamma (s-\lambda )}dW(\lambda )& \text{for }\gamma \ne 0,\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(20.4)}$$

其中 $W(\cdot )$ 是标准一元布朗运动，(20.4) 定义了 $M(s)$。详见Elliott (2006)。