20.1 涉及趋势变量的预期损失

20.1 含趋势变量的预期损失

为了说明第一点，考虑以下例子，其中自回归模型具有接近1的根，是真实的数据生成过程，我们使用最小二乘估计量来获得模型参数；这可以被视为一个插入式估计量，或视为最小化样本内平均损失的估计量。

例 20.1.1（近单位根过程的 MSE）。考虑 $AR(1)$ 模型 $y_{t+1}=\beta y_t+{\epsilon }_{t+1}$，其中 ${\epsilon }_{t+1}\sim (0,{\sigma }^2)$。在时间 $T$ 处的一步向前预测的均方误差为

$$\begin{array}{rl}E[(y_{T+1}-{\hat{\beta }}_T{y}_T{)}^2]& =E[({\epsilon }_{T+1}-({\hat{\beta }}_T-\beta )y_T{)}^2]\\ & =E[{\epsilon }_{T+1}^2+({\hat{\beta }}_T-\beta {)}^2{y}_T^2]+o_p(1).\end{array}\text{\hspace{1em}(20.1)}$$

即使在高斯情况下，建立该表达式的精确结果也很困难。当 $T\to \infty$ 时，令 $\beta ={\beta }_T=1-\gamma /T$，因此我们考虑三角阵列渐近。当 $\gamma =0$ 时，我们得到一个单位根；当 $\gamma >0$ 时，我们得到一个局部单位根。那么 $T(\hat{\beta }-\beta )\Rightarrow {\left(\int W_{\gamma }(s{)}^{2}ds\right)}^{-1}\int W_{\gamma }(s)dW(s)$ 且 $T^{-1/2}{y}_T\Rightarrow \sigma W_{\gamma }(1)$，其中 $W(s)$ 是标准布朗运动，而 $W_{\gamma }(s)={\int }_0^s{e}^{-\gamma (s-r)}dW(r)$。因此，(20.1) 中期望内的项可以近似为

$${\sigma }^2\left(1+T^{-1}{W}_{\gamma }(1{)}^2{\left(\int W_{\gamma }(s{)}^{2}ds\right)}^{-2}{\left(\int W_{\gamma }(s)dW(s)\right)}^2\right).$$

估计误差的阶数再次为 $T^{-1}$，尽管对于单位根或局部单位根，其影响的量值与单一平稳回归变量的情况不同。

这个例子说明了我们的主要观点。尽管 $y_{t+1}$ 和 $z_t=y_t$ 都具有单位根或近单位根，预期损失仍然存在，并且可以在足够大的样本中通过极限结果进行近似。与遍历情况下一样，由估计误差产生的项的阶数为 $T^{-1}$。即使我们对自回归根的估计量的收敛速度是 $T$ 而不是 $T^{1/2}$，这种情况仍然成立。在预期损失计算中，速度保持在 $T^{-1}$，因为回归变量 $z_T$ 的值也是发散的。阶数为 $T^{-1}$ 的项不再等于回归变量的数量 $k$，而是布朗运动函数的期望。这个函数取决于 $\gamma$（局部单位根参数）的值，因此取决于模型参数。

下一个例子展示了对于具有时间趋势而非单位根的情况的类似结果。

例 20.1.2（具有确定性趋势的预测模型）。考虑模型 $y_t={\beta }_1+{\beta }_{2}t+u_t={\beta }^{\prime }{x}_t+u_t$，其中 $u_t\sim (0,{\sigma }^2)$，$\beta =({\beta }_1,{\beta }_2{)}^{\prime }$，$x_t=(1,t)$。回归系数的 OLS 估计量联合正态，满足 ${{\rm Y}}_T(\hat{\beta }-\beta )\stackrel{d}{\sim }\mathcal{N}(0,{\sigma }^2\Sigma )$，其中 ${{\rm Y}}_T=\text{diag}(T^{1/2},T^{3/2})$，且 $\Sigma =\text{plim}{\left({{\rm Y}}_T^{-1}\left[{\sum }_{t=1}^T{x}_t{x}_t^{\prime }\right]{{\rm Y}}_T^{-1}\right)}^{-1}$ 是一个 $2\times 2$ 矩阵，其对角元素为 1 和 $1/3$，非对角元素为 $1/2$。由于 $T^{-3/2}({\hat{\beta }}_2-{\beta }_2)$ 是 $O_p(1)$，${\hat{\beta }}_2$ 的收敛速度快于 ${\hat{\beta }}_1$，我们可能会预期 ${\beta }_2$ 的估计误差影响比 ${\beta }_1$ 的阶数更低。然而，情况并非如此，因为收敛速率中额外的 $T$ 被同样为 $T$ 阶的时间趋势回归变量所抵消。假设均方误差损失并忽略高阶项，我们有

$$E[(y_{T+1}-x_t^{\prime }\hat{\beta }{)}^2]={\sigma }^2(1+T^{-1}{\iota }^{\prime }\Sigma \iota )={\sigma }^2\left(1+\frac{4}{T}\right).$$

这里每个系数估计误差影响的阶数相同。然而，估计误差的整体影响大于具有两个回归变量的平稳情况，大了 $2(T{)}^{-1}$。

在这个例子中，阶数为 $T^{-1}$ 的项与遍历情况中的对应项不同。在含趋势的情况下，该项取决于特定类型的趋势（线性时间趋势），但不取决于模型的参数。同样，对时间趋势系数的更快收敛速度并不会转化为更低阶的估计误差。

需要注意的第三点是，当趋势行为未被正确设定时，通常会导致均方误差随样本量增大而增大，而不是收敛到该问题的某个预期 MSE。

例 20.1.3（误设趋势的 MSE）。再次考虑模型 $y_t={\beta }_1+{\beta }_{2}t+u_t={\beta }^{\prime }{x}_t+u_t$，其中 $u_t\sim (0,{\sigma }^2)$，$\beta =({\beta }_1,{\beta }_2{)}^{\prime }$，且 $x_t=(1,t)$。然而，假设我们通过在预测模型中仅包含一个常数来误设趋势，即我们的预测是使用所有可用数据的 $y_t$ 的样本均值。在这种情况下，我们使用 ${\hat{\beta }}_1=T^{-1}{\sum }_{t=1}^T{y}_t$ 来预测 $y_{T+1}$，这产生一个 MSE，

$$\begin{array}{rl}E[y_{T+1}-{\hat{\beta }}_1{]}^2& ={\sigma }^2+E[{\beta }_1+{\beta }_2(T+1)-{\hat{\beta }}_1{]}^2\\ & ={\sigma }^2(1+T^{-1})+{\beta }_2^2{\left(T+1-T^{-1}\sum _{t=1}^{T}t\right)}^2\\ & ={\sigma }^2(1+T^{-1})+{\beta }_2^2{T}^2/4+o(1),\end{array}$$

因此当 $T$ 变大时 MSE 发散。

类似的结果适用于以下情况：$y_t$ 具有单位根但预测模型将 $y_t$ 视为具有时间趋势，或反之亦然。它们也扩展到以下情况：$y_t$ 具有单位根，但 $y_t$ 作为其他趋势变量函数的模型未能充分解释 $y_t$ 中的趋势行为，例如，如果模型不是协整的。与正确设定趋势的情况一样，每种情况都需要单独构建，没有一般性结果。然而，一个统一的主题是，当趋势被误设时，$y_{T+h}-y_T$ 发散，因为趋势最终会占主导地位。在这些情况下，通常参数不会收敛到伪真值，且当样本量增长时，参数估计的一个子集对任何固定值都不一致。

在未知趋势下，一种几乎总是可行且通常产生不发散 MSE（或任何期望有限的损失函数）的简单预测方法是使用 $y_T$ 来预测 $y_{T+h}$。这种预测被称为随机游走预测，因为对于该模型来说它是最优的。在这种情况下，即使 $y_{T+h}$ 的均值或方差在 $T$ 中是发散的，只要趋势行为是由于单位根或时间趋势造成的，预测误差 $y_{T+h}-y_T$ 不会发散。对于其他类型的趋势行为，例如近单位根，$y_{T+h}-y_T$ 的发散行为通常要小得多，因此问题不大。