19.8 结论

生成大多数经济和金融时间序列的过程可能随时间变化。这引发了一些重要问题。首先，模型不稳定性能否解释在整个预测文献中报告的一些实证发现，例如预测组合的良好实证表现以及预测性能在样本外趋于恶化的趋势？鉴于实证研究中发现模型不稳定性普遍存在，自然会怀疑这种不稳定性是模型设定错误的一个关键来源。

其次，预测者是否应该尝试检测并建模这些不稳定性，并利用它们来生成更准确的预测？这里已经使用了多种方法，从对参数随时间变化的生成过程进行建模的完全参数化方法，到更为临时的自适应方法。在决定使用哪种方法时，一个关键挑战是，针对模型不稳定性的检验通常无法提供关于所检测到的不稳定性性质的信息，即该不稳定性是采取对参数的频繁小幅断点的形式，还是采取罕见但大幅度的参数断点形式，后者甚至可能在几个离散状态之间交替。

第三，我们如何提出稳健的预测方法，使其性能不会因断点模型设定恰好正确而至关重要？模型组合（在第14章中讨论）提供了一种实现这一目标的方法。虽然使用滚动估计窗口或折扣最小二乘估计器通过将更多权重放在近期数据而非较旧数据上，从而提供了一定程度的稳健性，但这些方法通常不是最优的，并且可能放大估计误差对预测的影响，在参数不确定性很重要的情况下可能导致更差的预测性能（与基于扩展估计窗口的方法相比）。

趋势变量与预测

标准大数定律成立，因此随机变量的和经过适当缩放（通常按样本容量的平方根）后收敛于正态分布。预测中许多感兴趣的变量——宏观变量如收入或货币增长、金融变量如股票价格和交易量，甚至天气变量如温度——似乎具有足够的持续性，以至于我们可能无法确信这些假设。我们将这类变量称为趋势变量，意思是被预测变量的无条件均值或方差随时间发散。例如，如果${\gamma }_t$具有单位根，那么其方差随时间线性增加。如果${\gamma }_t$由时间趋势主导，那么它具有随时间发散的均值。

在许多方面，这种持续性问题对迄今为止讨论的许多问题几乎没有或没有影响。例如，对于损失函数或损失函数的选择没有真正的问题。在明确定义的假设下，预期损失仍然存在，因此第2章中关于损失函数的结果仍然适用。类似地，第4章和第5章中讨论的许多问题继续适用。例如，参数的不确定性仍与样本容量同阶。然而，有些事情确实会发生变化。风险表达式中出现的许多权衡现在将与之前讨论的不同，无论在幅度上还是在理解它们所需的技术上都是如此。被预测变量中的持续动态因此对模型建立、模型选择与比较以及风险评估具有影响。

假设趋势行为的性质是精确已知的——例如，我们可能知道趋势是时间的确定性函数，或者该变量在单位圆上有一个根而其他所有根都在单位圆之外。在这些情况下，存在趋势变量时出现的复杂性相对简单。例如，如果存在单一单位根驱动这些变量，可以应用差分或协整等方法来建模变量。如果存在确定性时间趋势，只需将其添加到模型中即可。

第3章讨论了插入式估计量和最小化平均损失的预测模型参数估计量。我们建立了一般条件，在这些条件下，这样的估计量收敛于最小化预期风险的伪真实值。最小化平均损失的预测模型参数估计要求数据要么是严格平稳的（使得具有估计参数的平均损失收敛于时间T的预期损失），要么是弱平稳的（使得具有估计参数的平均损失收敛于预期损失的平均值）。当变量具有单位根或表现出其他形式的趋势行为时，类似的一般结果不可用；具体结果取决于单位根的位置、变量之间单位根的数量，以及预测模型是否在"平衡"意义上被正确设定，确保被预测变量的趋势被预测模型正确捕捉。

假设$y_{T+h}$的预测模型是线性的且损失函数是二次的，那么一些一般性观点适用。首先，如果趋势行为被预测模型正确设定，那么估计误差在无条件意义上与遍历情况同阶，即阶数为$T^{-1}$。这一点在样本内和样本外都成立，尽管具有单位根（或时间趋势）的模型中系数以快于$T^{1/2}$的速率收敛。其次，当趋势被正确设定时，阶数为$T^{-1}$的项的精确大小因模型而异。在遍历情况下，该项等于估计的系数数量；在非遍历情况下，该项将取决于趋势的精确形式。

第20.1节讨论存在趋势变量情况下的预期损失。第20.2节将该问题聚焦于单变量预测模型，第20.3节涵盖多变量预测模型。第20.4节讨论具有高度持续性预测变量的情况，第20.5节讨论趋势或持续性变量的存在如何影响预测评估。第20.6节作出总结。