19.7 模型不稳定性和预测评估

19.7 模型不稳定性与预测评估

Clark 和 McCracken（2005b）研究了结构性断裂如何影响包络检验以及等预测精度检验。基于时变参数模型的预测精度取决于断裂时点相对于预测时点的位置的洞察，他们发现即使在样本内检验能够检测到真实可预测性的情况下，样本外检验在存在断裂时也可能遗漏这种可预测性。如果参数在用于样本外预测评估的样本部分中向 0 断裂，则这种情况尤其可能发生。他们的分析表明，参数不稳定性可能是样本内可预测性未能转化为样本外可预测性这一常见发现的原因之一。

Rossi（2005a）针对无预测性（格兰杰因果性）和模型稳定性的联合原假设提供了最优检验。Rossi 的检验解决了在参数可能时变的线性回归模型 $y_{t+1}={\beta }_t{x}_t+{\epsilon }_{t+1}$ 中 $x_t$ 是否对 $y_{t+1}$ 具有预测能力的问题。一种特别易于处理的参数不稳定性形式是 ${\beta }_t$ 在某个未知时点从 $\beta$ 转变为 $\hat{\beta }$。Rossi 的指数 Wald 检验过程如下。设 ${\hat{\beta }}_{1\tau }$ 和 ${\hat{\beta }}_{2\tau }$ 分别为断裂前后的 OLS 估计量，断裂假设发生在时点 $\tau$：

$$\begin{array}{rl}{\hat{\beta }}_{1\tau }& ={\left(\frac{1}{\tau }\sum _{t=1}^{\tau -1}{x}_{t-1}{x}_{t-1}^{\prime }\right)}^{-1}\left(\frac{1}{\tau }\sum _{t=1}^{\tau -1}{x}_{t-1}{y}_t\right),\\ {\hat{\beta }}_{2\tau }& ={\left(\frac{1}{T-\tau }\sum _{t=\tau }^{T-1}{x}_{t-1}{x}_{t-1}^{\prime }\right)}^{-1}\left(\frac{1}{T-\tau }\sum _{t=\tau }^{T-1}{x}_{t-1}{y}_t\right).\end{array}$$

Rossi 提出的检验使用两个组成部分。一个组成部分 $\hat{\beta }=(\tau /T){\hat{\beta }}_{1\tau }+(1-\tau /T){\hat{\beta }}_{2\tau }$，简单来说就是 $\beta$ 的全样本估计量。检验该组成部分是否非零相当于检验 $\beta$ 是常数但非零。然而，此类检验无法检测出导致该参数在某些时段显著不为 0 但平均值趋于 0 的 $\beta$ 变动。另一个组成部分 ${\hat{\beta }}_{1\tau }-{\hat{\beta }}_{2\tau }$ 则可以检测这种变动。该组成部分衡量了在不同子样本上估计的参数之间的差异，因此可以识别 $\beta$ 随时间的变动。

Rossi（2005a）提出的指数 Wald 检验统计量形式如下：

$${\mathrm{Exp}\text{-}\mathrm{W}}_T^{\ast }=\frac{1}{T}\sum _{\tau =0.15T}^{0.85T}\frac{\exp (\frac{1}{2})}{0.7}{\left(\begin{array}{c}({\hat{\beta }}_{1\tau }-{\hat{\beta }}_{2\tau }{)}^{\prime }\\ {\left(\frac{\tau }{T}{\hat{\beta }}_{1\tau }+\left(1-\frac{\tau }{T}\right){\hat{\beta }}_{2\tau }\right)}^{\prime }\end{array}\right)}^{\prime }{\hat{V}}^{-1}\left(\begin{array}{c}{\hat{\beta }}_{1\tau }-{\hat{\beta }}_{2\tau }\\ \frac{\tau }{T}{\hat{\beta }}_{1\tau }+\left(1-\frac{\tau }{T}\right){\hat{\beta }}_{2\tau }\end{array}\right),$$

其中

$$\hat{V}=\left(\begin{array}{cc}\frac{\gamma }{6}{S}_m^{\prime }{S}_1^{-1}{S}_3& 0\\ 0& \frac{\gamma -1}{2}{S}_m^{\prime }{S}_2^{-1}\frac{{\hat{\delta }}_2}{S_3}{S}_2^{-1}\frac{{\hat{\delta }}_2}{S_3}{S}_3\end{array}\right),$$

$$S_m=\frac{1}{T}\sum _{\tau =-1}^T{S}_{m-1}{x}_{\tau -1}^{\prime },$$

$${\hat{S}}_1=\left(\frac{1}{T}\sum _{\tau =2}^T{a}_{\tau }{\hat{\delta }}_{\tau }{\hat{\delta }}_{\tau -1}^{\prime }\right)+\sum _{j=2}^{T-1}\left(1-\frac{|\frac{j}{2}|}{{\tau }^{1/N}}\right)\left(\frac{1}{\tau }\sum _{\tau =2}^{\tau }{A}_{\tau }{\hat{\delta }}_{\tau -j}^{\prime }\frac{{\hat{\delta }}_j}{S_{j-j}^{\prime }{\hat{\delta }}_{j-j-1}^{\prime }}\right),$$

$${\hat{S}}_2=\left(\frac{1}{T-\tau }\sum _{\tau =j+1}^{T-1}{S}_{m-1}{\hat{\delta }}_{\tau }{\hat{\delta }}_{\tau -1}^{\prime }\right)+\sum _{j=-1}^{T-1}\left(1-\frac{j}{(T-\tau {)}^{1/N}}\right)\left(\frac{1}{T-\tau }\sum _{\tau =j+1}^{\tau -1}{a}_{\tau }{\hat{\delta }}_{\tau }{\hat{\delta }}_{\tau -1}^{\prime }\right)$$

以及 ${\hat{\epsilon }}_t=y_t-x_{t-1}^{\prime }\hat{\beta }$ 是来自拟合模型的回归残差。在数据不存在序列相关的情况下，${\hat{S}}_1$ 和 ${\hat{S}}_2$ 中只有第一项起作用。

Rossi（2005a，表 B1）在联合原假设（即 $x_t$ 不格兰杰导致 $y_{t+1}$ 且参数不存在时变，即 ${\beta }_t=\beta =0$）下列出了 ${\mathrm{Exp}\text{-}\mathrm{W}}_T^{\ast }$ 检验的临界值。

经验上，Rossi（2013a）发现，对结构突变具有稳健性的格兰杰因果检验能够为许多宏观经济序列检测到更强的可预测性经验证据——包括样本外证据。

Rossi（2013a）对考虑了模型不稳定性的预测程序进行了大规模比较。与Pesaran和Timmermann（2007）一样，她发现估计窗口的选择对预测表现非常重要。总体而言，Rossi所提供的经验证据表明，一个简单的等权重平均方法的预测表现往往与多种更复杂的方法相当甚至更优。

Giacomini和Rossi（2010）提出了用波动性检验来通过样本外表现考察预测模型的稳定性。其基本思想是，遵循Giacomini和White（2006）的方法，我们可以将两种不同预测方法所产生的样本外损失差异视为可被检验的原始数据。利用这种方法，Giacomini和Rossi提出了若干检验方法。例如，他们的波动性检验是一系列关于等预测准确性的滚动Diebold–Mariano检验。DM检验由样本中每个点周围的一个观察窗口构建，因此会随着窗口的移动而波动。如果波动相对于渐近分布的临界值过大，则被视为两种预测方法之间关系存在不稳定性的证据。

Rossi和Sekhposyan（2013）将点预测的模型不稳定性分析扩展到分布预测的评估。他们的检验包括柯尔莫哥洛夫–斯米尔诺夫检验和克拉默–冯·米塞斯检验（如第18章所述），即使密度模型的误设仅影响部分样本（因模型不稳定所致），这些检验仍具有识别能力。Rossi和Sekhposyan（2015）开发了对预测误差的不稳定性具有稳健性的预测合理性检验。如果预测仅在部分样本中无效，传统的合理性检验缺乏识别能力。通过将检验建立在样本的滚动窗口基础上，Rossi和Sekhposyan（2015）能够检测到更多偏离预测合理性的局部证据。