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19.6.3 预测组合与模型不稳定性

一些作者，包括 Diebold 和 Pauly（1987）、Min 和 Zellner（1993）、Hendry 和 Clements（2004）以及 Aiolfi、Capistrán 和 Timmermann（2011），认为参数不稳定性可能是预测组合在实证研究中表现良好的原因之一。作为说明，Aiolfi、Capistrán 和 Timmermann（2011）考虑了一个具有两个高斯预测变量的简单混合模型：

$y_{t + 1} = (1 - s_{t + 1}) x_{0 t + 1} + s_{t + 1} x_{1 t + 1} + ε_{t + 1}, f_{0 t + 1} = x_{0 t + 1}, f_{1 t + 1} = x_{1 t + 1} .$

假设 $x_{i t + 1} \sim N (0, σ_{i}^{2}), i = 0, 1, ε_{t + 1} \sim N (0, σ_{ε}^{2}), E [ε_{t + 1} x_{i t + 1}] = 0$ ，且 $E [x_{0 t + 1} x_{1 t + 1}] = 0$ 。最后，令 $s_{t} = 0$ 的概率为 $p,$ ，而 $s_{t} = 1$ 的概率为 $(1 - p)$ 。该模型中最佳预测取决于状态变量 $s_{t + 1}$ 的结果。 $If s_{t + 1} = 0$ ，则 $f_{0 t + 1}$ 是最佳的，而 $f_{1 t + 1}$ 在 $s_{t + 1} = 1$ 时是最佳的。状态之间的切换可能性刻画了底层数据生成过程中不稳定性的概念。Aiolfi、Capistrán 和 Timmermann 证明，只要满足下列条件，等权重预测组合 $(f_{0 t + 1} + f_{1 t + 1}) /2$ 的总体 MSE 就低于最佳个体预测模型 $f_{0 t + 1}$ 或 $f_{1 t + 1}$ 的总体 MSFE：

$\frac{1}{3} (\frac{p}{1 - p})^{2} < \frac{σ _{1}^{2}}{σ _{0}^{2}} < 3 (\frac{p}{1 - p})^{2} . (19.29)$

这些不等式确保没有任何一个预测在总体上"过度主导"另一个预测，否则显然直接使用占主导地位的预测而不进行组合将是更优的。在 $σ_{1}^{2} = σ_{0}^{2}$ 的简单情形下，只要 $(p / (1 - p)) \overset{ˉ}{\in} (1/3, 3)$ ，即只要任一状态（预测模型）出现的频率都不会远高于另一个，等权重预测组合就是最优的。值得注意的是，方程 (19.29) 中的结果忽略了估计误差，这也是常被用来解释等权重组合表现良好的另一个原因。

在一项实证分析中，Clark 和 McCracken（2010）对产出、通胀和短期利率的预测进行了组合，组合时使用的 VAR 设定以不同方式允许模型不稳定性的存在，包括采用递归滞后阶数选择、滚动估计窗口以及截距修正等方法。他们发现，简单的等权重平均能持续产生良好的效果。相比之下，使用最小二乘法估计组合权重往往会导致较差的预测结果。这些发现与 Rossi（2013a）的结果一致，后者发现等权重预测组合能够产生相对较好的样本外预测。

练习题

根据Aiolfi、Capistrán和Timmermann（2011）的研究，以下哪一项是实证研究中预测组合表现良好的原因？

A. 使用了先进的计算算法

B. 基础数据生成过程中的参数不稳定性

C. 所使用的预测模型的简单性

D. 使用了大量预测变量

在具有两个高斯预测变量的简单混合模型中，什么决定了最佳预测？

A. 预测变量

x_{0 t + 1}

和

x_{1 t + 1}

的方差

B. 状态变量

s_{t + 1}

的结果

ε_{t + 1}

的值

x_{0 t + 1}

和

x_{1 t + 1}

之间的相关性

以下哪些条件能够确保等权重预测组合 $(f_{0 t + 1} + f_{1 t + 1}) /2$ 的总体均方误差（MSE）低于最佳单个预测模型的总体均方预测误差（MSFE）？

\frac{1}{3} (\frac{p}{1 - p})^{2} < \frac{σ _{1}^{2}}{σ _{0}^{2}}

\frac{σ _{1}^{2}}{σ _{0}^{2}} < 3 (\frac{p}{1 - p})^{2}

\frac{σ _{1}^{2}}{σ _{0}^{2}} = \frac{p}{1 - p}

\frac{1}{3} (\frac{p}{1 - p})^{2} > \frac{σ _{1}^{2}}{σ _{0}^{2}}

在 $σ_{1}^{2} = σ_{0}^{2}$ 的简单情况下，只要 $(p / (1 - p)) \in / (1/3, 3)$ ，等权重预测组合就是最优的。

克拉克（Clark）和麦克拉肯（McCracken）（2010年）发现，简单的等权重平均法总能取得良好的效果，而组合权重的最小二乘估计法往往得出的预测结果较差。这一发现与___的研究结果一致。

解释为什么参数不稳定性可能导致预测组合的良好表现。

在具有两个高斯预测变量的简单混合模型中，以下哪一项是关键假设？

A. 对于

i = 0, 1

，

E [ε_{t + 1} x_{i t + 1}] \neq = 0

E [x_{0 t + 1} x_{1 t + 1}] \neq = 0

C. 对于

i = 0, 1

，

E [ε_{t + 1} x_{i t + 1}] = 0

D. 对于

i = 0, 1

，

x_{i t + 1} \sim N (1, σ_{i}^{2})

当 $σ_{1}^{2} = σ_{0}^{2}$ 时，等权重预测组合的最优性取决于状态 $s_{t + 1} = 0$ 和 $s_{t + 1} = 1$ 的相对频率。

在模型不稳定的情况下，使用预测组合的主要优势是什么？

克拉克和麦克克拉肯（Clark and McCracken，2010年）在实证分析中采用了以下哪种方法来考虑模型的不稳定性？

A. 递归滞后选择

B. 固定比例估计窗口

C. 滚动估计窗口

D. 截距校正

在具有两个高斯预测变量的简单混合模型中，什么决定了 $y_{t + 1}$ 的最佳预测？

ε_{t + 1}

的方差

B. 状态变量

s_{t + 1}

的结果

x_{0 t + 1}

和

x_{1 t + 1}

之间的相关性

x_{0 t + 1}

和

x_{1 t + 1}

的均值

在克拉克和麦克雷肯（Clark and McCracken，2010）对预测组合的实证分析中，他们采用了哪些方法来考虑模型的不稳定性？

A. 递归滞后选择

B. 滚动估计窗口

C. 折现最小二乘估计

D. 截距修正

在简单混合模型中，当 $σ_{1}^{2} = σ_{0}^{2}$ 时，无论 $p$ 取何值，等权重预测组合都是最优的。

在满足条件 $\frac{1}{3} (\frac{p}{1 - p})^{2} < \frac{σ _{1}^{2}}{σ _{0}^{2}} < 3 (\frac{p}{1 - p})^{2}$ 的情况下，等权重预测组合 $(f_{0 t + 1} + f_{1 t + 1}) /2$ 的总体均方误差（MSE）低于最优单个预测模型 $f_{0 t + 1}$ 或 $f_{1 t + 1}$ 的总体均方预测误差（MSFE）。该条件确保了两种预测中没有一个占主导地位___。

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