19.6.2 截距校正

19.6.2 截距修正

基于历史样本中所有观测值估计参数的预测模型，在模型参数随时间变化的情况下通常会产生有偏预测。考虑预测模型 $f_{T+1|T}(\beta )$，其中 $\beta$ 通过样本 $t=1,\dots ,T-1$ 估计得到，进而得到预测模型 $f_{T+1|T}({\hat{\beta }}_T)$。如果参数随时间变化，通常有 $E[y_{T+1}-f_{T+1|T}(z_T,{\hat{\beta }}_T)]\ne 0$。截距修正试图估计这一偏差。假设参数每期的变动幅度不大，则偏差的一个估计量即为上一期的预测误差 $y_T-f_{T|T-1}({\hat{\beta }}_{T-1})$。因此，我们可以使用截距修正后的预测 $f_{T+1|T}^{IC}(\hat{\beta })=f_{T+1|T}({\hat{\beta }}_T)+[y_T-f_{T|T-1}({\hat{\beta }}_{T-1})]$。截距修正后预测的偏差为

$$\begin{array}{rl}& E[y_{T+1}-f_{T+1|T}({\hat{\beta }}_T)-(y_T-f_{T|T-1}({\hat{\beta }}_{T-1}))]\\ & =E[y_{T+1}-f_{T+1|T}({\hat{\beta }}_T)]-E[(y_T-f_{T|T-1}({\hat{\beta }}_{T-1}))].\end{array}$$

若两项大致相近——即预测中的偏差不会快速变化——则偏差将接近于 0。

例 19.6.1（单一断点的线性回归，续）。考虑式 (19.1) 中的模型，其参数具有单一断点 ${\beta }_t=\beta +d1(t\le \tau )$。对于该模型，预测的偏差为 $E[y_{T+1}-{\hat{\beta }}_T{x}_T]=T^{-1}\tau d^{\prime }E{x}_T$，因此截距修正后预测的偏差为 $d^{\prime }E[T^{-1}\tau x_T-(T-1{)}^{-1}\tau x_{T-1}]$。假设 $x_t$ 是协方差平稳的，则该偏差为 $\tau d^{\prime }E{x}_T{T}^{-1}(T-1{)}^{-1}$。当 $T$ 较大时，该值将接近于 0。

截距修正方法由 Clements 和 Hendry (1996, 1998) 推广并分析。这些论文中的解析结果未考虑估计误差的影响。对于局部断点，偏差的大小与估计误差同阶，因此要理解该方法需要同时考虑两者的影响。不过从本质上讲，截距修正方法确实可以减少或消除因对存在罕见断点的模型进行估计而产生的偏差。然而，这种偏差的减少是以预测方差增加为代价的。因此，该方法的价值取决于初始偏差的大小，当偏差相对较大使得偏差修正足以抵消方差增加时，该方法最为有效。

最后一行表明，相对于无修正情形，在预测中加入截距修正的效果是使预测误差的方差大致翻倍。这是因为现在存在两个预测误差（一个在 $T+1$ 期，另一个在 $T$ 期），其方差为各自方差之和减去两倍协方差。预测误差通常要么不相关（如果模型非常好），要么由于被遗漏的（持续性）项而呈现弱正相关。

例 19.6.2（单一断点的线性回归，续）。再次考虑具有单一局部断点的线性回归，其参数为 ${\beta }_t=\beta +d1(t\le \tau )$。

经过沿用例 19.1.1 和例 19.1.2 思路的大量计算，我们得到

$$\begin{array}{rl}& (y_{T+1}-{\hat{\beta }}_T{x}_T,y_T-{\hat{\beta }}_{T-1}{x}_{T-1}{)}^{\prime }\\ & \sim [\left(\begin{array}{c}{\Sigma }_{X,T-1}^{-1}{\Sigma }_{X,\tau }{d}^{\prime }{x}_T\\ {\Sigma }_{X,T-2}^{-1}{\Sigma }_{X,\tau }{d}^{\prime }{x}_{T-1}\end{array}\right),\\ & {\sigma }^2\left(\begin{array}{cc}1+x_T^{\prime }{\Sigma }_{X,T-1}{x}_T& 0\\ 0& 1+x_{T-1}^{\prime }{\Sigma }_{X,T-2}{x}_{T-1}\end{array}\right)],\end{array}$$

因此

$$\begin{array}{rl}& (1-1)\left(\begin{array}{c}{y}_{T+1}-{\hat{\beta }}_T^{\prime }{x}_T\\ y_T-{\hat{\beta }}_{T-1}^{\prime }{x}_{T-1}\end{array}\right)\\ & \sim [({\Sigma }_{X,T-1}^{-1}{\Sigma }_{X,\tau }{d}^{\prime }{x}_T-{\Sigma }_{X,T-2}^{-1}{\Sigma }_{X,\tau }{d}^{\prime }{x}_{T-1}),\\ & {\sigma }^2(2+x_T^{\prime }{\Sigma }_{X,T-1}{x}_T+x_{T-1}^{\prime }{\Sigma }_{X,T-2}{x}_{T-1})].\end{array}$$

截距修正方法的 MSE 为

$$\begin{array}{rl}\mathrm{MSE}& =({\Sigma }_{X,T-1}^{-1}{\Sigma }_{X,\tau }{d}^{\prime }{x}_T-{\Sigma }_{X,T-2}^{-1}{\Sigma }_{X,\tau }{d}^{\prime }{x}_{T-1}{)}^2\\ & +{\sigma }^2(2+x_T^{\prime }{\Sigma }_{X,T-1}{x}_T+x_{T-1}^{\prime }{\Sigma }_{X,T-2}{x}_{T-1}).\end{array}$$

可以看到，我们获得了偏差的减少，但代价是方差分量几乎翻倍。

这些理论结果表明，要使截距修正方法带来的收益超过预测误差方差的增加，断点必须非常大——这种情况在实践中不太可能出现。这样的结果似乎在实践中得到了验证。Rossi (2013a) 通过考察大量变量发现，截距修正几乎从未改善单变量自回归预测。