19.6 处理断裂的临时方法

19.6 处理结构性断裂的临时性方法

上一节讨论的每种方法都将估计方案与所假定的断裂过程模型相匹配。如果预测者坚信某一特定的断裂过程生成了数据，那么选择与该特定断裂过程相匹配的估计策略是合理的。然而，如上所述，通常很难确定最有可能生成数据的断裂过程。无论是单一断裂检验还是随机游走断裂检验，无论真实的断裂过程如何，拒绝原假设的可能性几乎相同。因此，对参数稳定性检验的拒绝并不能表明生成数据的具体断裂过程。

在断裂过程形式未知的情况下，我们可以转而采用一些与断裂过程类型并无直接关联的临时性方法。本节将描述多种此类方法。

19.6.1 降低过去观测权重的加权方案

当 ${\beta }_t$ 随时间变化时，我们通常试图通过参数的某种"平均"值来近似预测回归中的 ${\beta }_T$。一种简单的方案是对近期观测赋予比过去观测更大的权重。这可以通过在目标函数中加入权重来实现，即选择使如下加权损失最小化的参数：

$${\hat{\beta }}_T=\arg \underset{\beta \in \mathcal{B}}{\min }(T-1{)}^{-1}\sum _{t=1}^{T-1}{\omega }_{t}L(f_{t+1\mid t}(\beta ),y_{t+1}).\text{\hspace{1em}(19.27)}$$

预测 $f_{T+1|T}({\hat{\mathbf{\beta }}}_T)$ 则基于估计值 ${\hat{\mathbf{\beta }}}_T$。平稳情形下的常规方法是 ${\omega }_t=1$（对所有 $t$ 成立）的一个特例。如第16.2节所述，可以通过不同方式来降低较旧观测的权重。一个突出的例子是滚动回归，它设定 ${\omega }_t=1(T-\bar{\omega }\le t\le T-1)$，即对最近的 $\bar{\omega }$ 个观测采用矩形窗口（等权重），对其他观测权重为0。随着样本的扩展，该方法纳入一个新的观测并剔除一个旧观测，从而使估计窗口始终保持在 $\bar{\omega }$ 不变。另一种方法是让估计窗口占样本容量的固定比例 $\rho$，即 ${\omega }_t=1((1-\rho )T+1\le t\le T)$。折现最小二乘法设定 ${\omega }_{\tau T}={\lambda }^{T-\tau }$，其中 $\lambda \in (0,1]$，适用于 MSE 损失函数，尽管显然同样的思路可以容易地推广到更一般情形下预测模型的构建。在折现最小二乘目标下的估计非常直接。对于线性回归模型和 MSE 损失，它等价于加权最小二乘。

滚动回归运用了一种直观的权衡。较短的估计窗口可能会减少估计中的偏差，其原因在于使用了陈旧数据，这些数据来自与计算预测时所用数据不同的数据生成过程。这种偏差的减少是以参数估计精度的下降为代价的，因为所使用的数据减少了。我们的期望是，偏差的减少能够充分弥补参数估计误差的增加。折现最小二乘估计也做出了类似的权衡，尽管这种方法虽然降低了较远观测的权重，但仍然对即使是最旧的数据点赋予了一定的权重，从而有可能缓解对参数估计方差的不利影响。