19.5.3 时变参数模型

19.5.3 时变参数模型

简单的时变参数（TVP）随机游走模型形式如下：

$$\begin{array}{l}{y}_t=x_{t-1}^{\prime }{\beta }_t+{\epsilon }_{yt},\\ {\beta }_t={\beta }_{t-1}+{\epsilon }_{\beta t}.\end{array}\text{\hspace{1em}(19.23)}$$

该模型为状态空间形式，其中 $y_t$ 是可观测过程，${\beta }_t$ 是潜在的"状态"，因此我们可以使用卡尔曼滤波附录中的符号将（19.23）改写为：

$$y_t=H_t{\xi }_t+w_t,\text{\hspace{1em}(19.24)}$$

$${\xi }_t={\xi }_{t-1}+v_t.\text{\hspace{1em}(19.25)}$$

此外，$w_t\sim \mathrm{N}(0,R_t)$，$v_t\sim \mathrm{N}(0,Q_t)$。假设 $y_t$ 和 $H_t=x_{t-1}^{\prime }$ 可观测，而 ${\xi }_t$ 为潜在变量，则（19.24）为观测方程，（19.25）为状态方程。该模型可以使用卡尔曼滤波方法直接估计。

关于如何估计TVP模型存在若干变体，这些变体常被用于预测向量值变量。正如第9章所讨论的，Sims（1993）提出了一种贝叶斯方法来计算预测。假设（19.23）中 ${\epsilon }_{yt}$ 和 ${\epsilon }_{\beta t}$ 的新息服从正态分布，通常使用共轭先验，即对 ${\beta }_t$ 的初始值采用正态先验，对方差-协方差矩阵采用逆Wishart先验。这给出了一个可以通过Gibbs采样方法轻松估计的模型；参见我们9.3.4节中关于该主题的讨论。West和Harrison（1998）对这类模型的构建和估计进行了更全面的（书籍长度）论述。

设 $Z_t=(y_t,y_{t-1},\dots ,x_t,x_{t-1},\dots )$ 为时间t可获得的数据。首先考虑协方差矩阵已知的简单情形，并假设使用正态先验初始化递推，即在卡尔曼滤波附录的符号中 ${\xi }_0\sim \mathrm{N}({\xi }_{0|0},P_{0|0})$。给定 $Z_t$ 下，$y_{t+1}$ 的后验预测分布为

$$p_Y(y_{t+1}|Z_t)\sim \mathrm{N}(y_{t+1|t},G_{t+1|t}),$$

其中正态分布参数的计算公式在卡尔曼滤波附录中给出。

在协方差矩阵未知的更现实情形下，我们还需要协方差参数的先验。假设 $Q_t$ 是时变的，考虑标准化 $Q_t=R{Q}_t^{\ast }$，其中 $R$ 为可逆矩阵。使用逆Gamma先验

$$\begin{array}{r}R|Z_0\sim \mathrm{IG}\left[\frac{1}{2},\frac{1}{2}{S}_0\right],\end{array}$$

其中 $S_0$ 是某个初步估计，例如基于过去数据的MLE，则结果的边缘后验分布为

$$p_Y(y_{t+1}|Z_t)\sim T_{n_t}(y_{t+1|t},G_{t+1|t}).$$

这里 $T_{n_t}$ 是自由度为 $n_t$、众数为 $\begin{array}{r}{\gamma }_{t+1|t},\end{array}$、尺度矩阵为 ${\mathbf{G}}_{t+1|t}$ 的多元t分布。${}^1$ 我们将上述卡尔曼滤波公式中的R替换为协方差矩阵的MLE估计 ${\bar{S}}_t$。West和Harrison（1998）还讨论了多期预测，不过这些预测依赖于已知 h 步超前预测的 $H_{t+h-1}$。

已有相当多的研究应用了这些方法。Stock和Watson（1996）发现，在许多情况下，包含随机游走成分的时变参数模型以及基于滚动估计窗口的预测模型，其样本外预测表现优于固定参数模型。允许参数不稳定的模型也倾向于降低极差预测表现的风险，例如当存在大幅参数断裂时。然而，相对于递推估计的常数参数模型，平均收益通常非常小。

Stock和Watson（2007）提出了一种（单变量）不可观测成分随机波动率模型，其形式如（19.24），其中 $H=1$。方差被假定遵循随机波动率过程

$$\begin{array}{r}\ln (R_t)=\ln (R_{t-1})+{\psi }_{rt},\\ \ln (Q_t)=\ln (Q_{t-1})+{\psi }_{qt},\end{array}\text{\hspace{1em}(19.26)}$$

且波动率冲击彼此不相关且跨期不相关：$({\psi }_{rt},{\psi }_{qt}{)}^{\prime }\sim \mathrm{ind}\mathrm{N}(0,I)$。$y_{t+h|t}$ 的预测值通过 ${\xi }_t$ 的滤波估计获得。该模型可以使用MCMC方法估计。该模型推广了带截距项的简单TVP随机游走模型，后者不允许随机波动率。

Engle和Smith（1999）提出了一种具有随机永久断裂的stopbreak模型：

$$\begin{array}{l}{y}_{t+1}={\xi }_{t+1}+w_{t+1},\\ {\xi }_{t+1}={\xi }_t+q_t{w}_t,\end{array}$$

其中 $q_t=q(w_t)$，$w_t$ 服从鞅过程。该模型不同于标准设定，因为两个方程中的冲击是相同的，尽管 $q_t$ 决定了冲击 $w_t$ 对 $y_{t+1}$ 的影响。若 $q_t=1$，我们得到一个具有完全相关冲击的随机游走模型的简单版本；若 $q_t=0$，则冲击 $w_t$ 对 $y$ 的均值没有永久性影响。