19.4 多个断点模型

19.4 具有多个断点的模型

(19.8)式中的单断点模型可以扩展为在多个时间点发生断点的模型：

$$y_{t+1}=\{\begin{array}{ll}(\beta +d_1{)}^{\prime }{x}_t+{\sigma }_1{\epsilon }_{t+1},& t\le {\tau }_1,\\ ⋮& ⋮\\ (\beta +d_k{)}^{\prime }{x}_t+{\sigma }_k{\epsilon }_{t+1},& {\tau }_{k-1}<t\le {\tau }_k,\\ {\beta }^{\prime }{x}_t+\sigma {\epsilon }_{t+1},& t>{\tau }_k,\end{array}\text{\hspace{1em}(19.18)}$$

其中 ${\epsilon }_t\sim (0,1)$，$t=1,\dots ,T$。假设在时期 $T$ 和 $T+1$ 之间不存在断点，则在均方误差损失下，第 $T+1$ 期的理想预测模型为 $f_{T+1}={\beta }^{\prime }{x}_T$。与上一节相同，我们并不知道断点发生的时间。注意，(19.18)式允许回归残差的方差在断点时刻发生离散变化。我们也可以将 (19.18)式扩展为包含系数恒定的变量 $(v_t)$；这被称为部分断点模型：

$$y_{t+1}=\{\begin{array}{ll}(\beta +d_1{)}^{\prime }{x}_t+{\lambda }^{\prime }{v}_t+{\sigma }_1{\epsilon }_{t+1},& t\le {\tau }_1,\\ ⋮& ⋮\\ (\beta +d_k{)}^{\prime }{x}_t+{\lambda }^{\prime }{v}_t+{\sigma }_k{\epsilon }_{t+1},& {\tau }_{k-1}<t\le {\tau }_k,\\ {\beta }^{\prime }{x}_t+{\lambda }^{\prime }{v}_t+\sigma {\epsilon }_{t+1},& t>{\tau }_k.\end{array}$$

Bai 和 Perron (1998) 提供了一种在 $k$（断点数量）未知且 $y$ 为单变量时，估计线性回归中多个断点日期 $\{{\tau }_1,\dots ,{\tau }_k\}$ 的程序。⁶对于给定的断点数量，Bai 和 Perron 的程序通过在所有潜在的断点日期之间最小化残差平方和来选择断点日期。这是前面讨论的针对单断点情形的方法的直接推广。他们的程序估计了整个断点日期集合 $\{{\hat{\tau }}_1,\dots ,{\hat{\tau }}_k\}$。给定该断点日期集合 $\{{\hat{\tau }}_1,\dots ,{\hat{\tau }}_k\}$，可以通过 OLS 估计 (19.18)式的参数，并计算残差平方和：

$$\begin{array}{rl}& SSR({\tau }_1,\dots ,{\tau }_k)=\sum _{t=1}^{T-1}\sum _{j=1}^k{\left(y_{t+1}-{\beta }_j^{\prime }{x}_t-d_j^{\prime }{x}_{t}1({\tau }_{j-1}\le t<{\tau }_j)\right)}^2,\\ & {\hat{\tau }}_1,\dots ,{\hat{\tau }}_k=\arg \min SSR({\tau }_1,\dots ,{\tau }_k),\end{array}\text{\hspace{1em}(19.19)}$$

约束条件为 ${\tau }_1<{\tau }_2<\cdots <{\tau }_k$。与单断点情形相同，需要对数据进行一定的截尾处理——此时不仅要在两端截尾，还要确保各个断点之间保持足够的距离，以便能够一致地估计断点参数。

在关于预测变量和残差的相对标准的假设下，并假设断点是渐近可区分且确实存在的，Bai 和 Perron 证明了他们的方法能够一致地估计真实的 $\mathbf{p}$ 断点比例，⁷即他们一致地估计了 $T^{-1}{\hat{\tau }}_i$，其中 $i=1,\dots ,k$。

为克服断点数量未知的困难，Bai 和 Perron 提出了一种序贯程序，该程序检验 $k$ 个断点对 $k+1$ 个断点，直到不再检测到更多断点为止。在具有 $k$ 个断点的情况下，存在 $k+1$ 个参数可能保持稳定的时期。然后使用最大 $F$ 检验（SupWald）统计量对每个时期进行断点检验。该检验的临界值取决于原假设下的断点数量。有关实施这些方法的算法细节，请参见 Bai 和 Perron (2003)。⁸估计断点日期会增加 OLS 方法的风险函数，因此该方法再次依赖于对最终断点日期的良好估计。这在具有大断点且易于在数据中识别的情形下最有可能成立。

值得注意的是，在生成样本外预测时，断点序列中的最后一个断点 ${\tau }_k$ 最为重要，因此也可以使用 19.3 节中讨论的反向 CUSUM 检验。该方法也可以提供其余断点日期的估计，尽管这些估计当然不是必需的。

19.5 对断点过程建模的预测

假设我们怀疑参数存在断点，或者我们在预检验中拒绝了无断点的原假设。那么我们可以考虑构建断点过程的模型，从而构造出比忽略模型不稳定性时更好的预测。一种方法是选择并估计断点过程的某个特定参数化形式，希望这能很好地近似断点过程并改善预测。不同的断点过程对应不同的估计方法。本节考察一些常见断点过程的性质。

19.5.1 马尔可夫区制转换模型

一阶马尔可夫区制转换 VAR 模型（简称 MSVAR）具有如下形式：

$$y_{t+1}={\mu }_{s_{t+1}}+A_{s_{t+1}}{y}_t+{\epsilon }_{t+1},{\epsilon }_{t+1}\sim \mathrm{N}(0,{\Sigma }_{s_{t+1}}).\text{\hspace{1em}(19.20)}$$

此处 $s_{t+1}$ 是一个标量状态变量。通常假设 $s_{t+1}$ 在 $K$ 个不同的值之间变动，即 $s_{t+1}\in \{1,2,\dots ,K\}$，其中 $K\ge 2$ 为一个固定数值。大多数实证应用设定 $K=2$。状态之间的转换通常假设由一个同质一阶马尔可夫过程所支配，其状态转移概率为 $\mathrm{Pr}(s_{t+1}=i\mid s_t=j)=p_{ij}$。此处关键假设是，同样的 $K$ 个状态会重复出现，从而使我们能够从当前状态以及其他状态先前的访问中学到一些有用的信息（例如它们的均值、方差和转移概率）。然而，如第 8.3 节所示，即使在均方误差损失下，最优预测也是所有数据的一个复杂的非线性函数。