19.2 样本内检验在模型不稳定性方面的局限性

19.2 模型不稳定性样本内检验的局限性

一旦我们允许模型参数 ${\beta }_t$ 随时间变化，就有多种不同的方式来精确刻画参数的演变方式。参数可能如例 19.1.1 那样在时间 $t=\tau$ 处仅从 $\beta +d$ 一次性地转移到 $\beta$，此时参数的模型为 ${\beta }_t=\beta +d1(t\le \tau )$。或者，参数也可能发生多次离散跳跃：

$${\beta }_t=\{\begin{array}{ll}\beta +d_1& \text{for }t\le {\tau }_1,\\ \beta +d_2& \text{for }{\tau }_1<t\le {\tau }_2,\\ ⋮& ⋮\\ \beta +d_k& \text{for }{\tau }_{k-1}<t\le {\tau }_k,\\ \beta & \text{for }{\tau }_k<t.\end{array}\text{\hspace{1em}(19.4)}$$

相对于参数的确定性跳跃，我们也可以考虑一系列随机扰动，

$${\beta }_t={\beta }_{t-1}+{\epsilon }_t,\text{\hspace{1em}(19.5)}$$

也称为随机游走断裂。若 ${\epsilon }_t={\eta }_t{\tilde{\epsilon }}_t$，其中 ${\eta }_t$ 是伯努利随机变量，${\tilde{\epsilon }}_t$ 来自连续分布且随时间独立，则随机游走断裂模型在形式上类似于多次离散跳跃模型，样本中期望有 $pT$ 次断裂，其中 $p$ 是伯努利分布的概率参数。参数的均值回归可以通过如下形式的设定来刻画：

$${\beta }_t=\kappa (\bar{\beta }-{\beta }_{t-1})+{\epsilon }_t,\text{\hspace{1em}(19.6)}$$

其中 $|\kappa |<1$ 是均值回归速度，$\bar{\beta }$ 是 $\beta$ 的长期均值。这些模型的另一种替代方案是系数服从马尔可夫切换过程，在有限个状态之间波动：

$${\beta }_t={\beta }_{s_t},s_t\in \{1,\dots ,K\},\text{\hspace{1em}(19.7)}$$

$$\mathrm{Pr}(s_t=i|s_{t-1}=j)=p_{ij}.$$

断裂过程存在众多不同的模型，加之缺乏针对任何特定备择假设的一致最优检验，导致了大量检验的出现，这些检验试图将稳定参数模型与参数发生断裂的模型区分开来。对于具有单一断裂的线性回归设定，已采用了基于最小二乘估计断裂日期的临时性检验（例如，Andrews, 1993b），而 Andrews 和 Ploberger (1994) 则提出了一系列最优检验方法。Bai 和 Perron (1998) 针对固定数量断裂的情况，提出了估计断裂时间并在剩余数据部分检验是否存在额外断裂的序贯方法。对于随机游走断裂，Nyblom (1989) 提出了一种针对更一般模型集合的局部最优检验，Elliott 和 Müller (2006) 则给出了一种点最优检验。Rossi (2005a) 提供了一种在精心选取的方向上关于加权平均功效最优的检验。

对于上述每一种断裂过程，固定断裂次数的检验针对以下模型具有局部功效：该模型以 $T^{1/2}$ 的速度收敛于稳定无断裂模型。假设存在单一断裂，这意味着 $\delta =d\times \sec (\beta )$，其中 $\sec (\beta )$ 是稳定模型中 $\beta$ 估计量的标准差。如果我们考虑均值的断裂且 $\mathrm{Var}({\epsilon }_t)={\sigma }^2$，则对应于局部断裂的大小为 $\delta =d\sigma T^{-1/2}$。对于随机游走模型，${\epsilon }_t$ 的方差在局部备择假设下趋于零，因此 $T\Delta {\beta }_t$ 具有稳定的方差。

断裂点检验的理论文献以及相关的蒙特卡洛研究得出了一些重要的实践启示。首先，最优检验与许多临时性检验的功效曲线非常相似。这解释了为什么在实践中人们仍然继续使用单一断裂模型的临时性检验。其次，为某一类断裂过程设计的检验通常对其他断裂过程也具有功效。例如，针对单一断裂的检验在随机游走断裂的备择假设下仍然经常拒绝原假设。Elliott 和 Müller (2006) 表明，这一结论可推广到最优检验之间的功效等价性：对于一个广泛类别中任何一种断裂过程最优的检验，在该广泛类别内的其他断裂过程下具有相同的功效。因此，针对某一特定断裂过程的检验拒绝原假设，并不意味着所检验的断裂过程是"正确的"。实际上，它可能只是众多可能的断裂过程之一。对于足够大的断裂幅度 $d$ 或 $T\Delta {\beta }_t$ 的方差，断裂检验的功效实际上为 1，因此该幅度断裂的存在基本是确定的。对于幅度小于此的断裂，是否真的存在影响参数的断裂则具有不确定性。

断裂检验的这些特征可以通过蒙特卡洛模拟来考察。图19.1使用四种蒙特卡洛设计来检验不同类型断裂检验的渐近势。在每种情况下，我们考虑一个独立正态分布序列均值的断裂。左上面板假设断裂发生在样本中点 $(\tau =T/2)$；右上面板假设存在两个断裂，一个在样本的第40百分位，另一个在样本的第60百分位。此处δ是两个断裂幅度的总和。下面的面板假设 $T\Delta {\beta }_t$ 是一个随机游走。在左下面板中，$T\Delta {\beta }_t$ 有10%的概率受到冲击，而在右下面板中，每一期都发生冲击。在这两种情况下，δ指的是按冲击发生概率归一化后的冲击方差。

图19.1：实线表示qLL检验，点划线表示Nyblom检验，虚线表示Andrews和Ploberger检验，圆点表示SupF检验的势。

对于每个实验，图19.1显示了Andrews的SupF检验和Andrews–Ploberger (AP) 检验的渐近势——这两种检验均设计用于检测单一断裂——以及Elliott和Müller (2006) 的qLL检验和针对随机游走断裂的Nyblom检验的势。上述要点从这些图中清楚地显现出来。首先，势曲线确实相似，所有检验对不同类型的断裂过程都具有势。因此，拒绝一个为检测特定断裂序列而设计的检验，并不能说明该断裂序列事实上属于此类型。对这些检验的拒绝显然并不暗示任何特定形式的不稳定性——只暗示存在某种形式的不稳定性。

如上所述，估计结果可能表明某些回归变量不应包含在预测模型中，因为其全样本估计值接近0，即使这些回归变量在时间T进行预测时包含有用信息。对于具有单一断裂的模型，一种替代策略是联合检验 $\beta ={\beta }_0$ 和 $\delta =0$。这联合检验了预测模型中的参数值等于 $0\left({\beta }_0=0\right)$ 以及不存在断裂 $(\delta =0)$。因此，为了避免因未知断裂而无法检测到可预测性，对 $x_t$ 是否有助于预测 (19.1) 中的 $y_{t+h}$ 所进行的检验将涉及同时检验参数值 $(\beta =0)$ 和不存在断裂 $(\delta =0)$。

我们可以选择不联合检验断裂和断裂后缺乏可预测性（如Rossi的检验中我们设 ${\beta }_0=0$ 的情况），而是考虑另一种假设，即在不考虑δ大小的前提下，控制检验规模来检验无可预测性的原假设 $(\beta =0)$。当 $\beta$ 中存在单一元素的断裂时，Elliott和Müller (2014) 提供了这样的检验。该检验无论断裂大小如何（包括不存在断裂的情况）都能渐近地控制检验规模。

Giacomini和Rossi (2009) 研究了一个相关问题，即在特定时期估计的预测模型是否对预测未来结果有用。他们的检验比较了样本内和样本外的预测性能，并试图预测预测失效，以此作为预测未来断裂的一种手段。