19.1 结构突变与预测表现

19.1 结构突变与预测表现

为了理解当参数发生变化时预测会如何受到影响，设 ${\beta }_t$ 为预测模型的回归参数，其中" $t$ "下标表示参数现在随时间变化。假设参数变化不是随机的，我们更倾向于使用预测时点 $(T)$ 的参数 ${\beta }_T$ 来构建预测，预测时点通常处于历史样本的末尾。然而，基于全样本信息的估计量 ${\hat{\beta }}_T$ 通常不会收敛到 ${\beta }_T$，而是收敛到在估计期 $t=1,\dots ,T$ 内 ${\beta }_t$ 值的平均值。

例 19.1.1（具有单结构突变的线性回归模型）。 考虑模型

$$y_{t+1}={\beta }_t^{\prime }{x}_t+{\epsilon }_{t+1},t=1,\dots ,T-1,\text{\hspace{1em}(19.1)}$$

其中 ${\epsilon }_{t+1}$ 是独立同分布的 $(0,{\sigma }^2)$ 序列，并且与 $\{x_t{\}}_{t=1}^T$ 独立。假设 ${\beta }_t=\beta +d\times 1(t\le \tau )$，因此回归参数从结构突变时刻 $\tau$ 之前的 $\beta +d$ 变为 $\tau$ 之后的 $\beta$。要在时刻 $T$ 生成 $y_{T+1}$ 的预测，我们更倾向于使用模型 ${\beta }^{\prime }{x}_T$。然而，通过对 $t=1,\dots ,T-1$ 将 $y_{t+1}$ 对 $x_t$ 进行回归得到的全样本最小二乘估计量 ${\hat{\beta }}_T$，在给定 $\{x_t{\}}_{t=1}^T$ 条件下的条件期望等于

$$\begin{array}{rl}E[{\hat{\beta }}_T]& =E\left[{\left(\sum _{t=1}^{T-1}{x}_t{x}_t^{\prime }\right)}^{-1}\left(\sum _{t=1}^{T-1}{x}_t{y}_{t+1}\right)\right]\\ & =E\left[{\left(\sum _{t=1}^{T-1}{x}_t{x}_t^{\prime }\right)}^{-1}\left(\sum _{t=1}^{T-1}{x}_t\left(x_t^{\prime }\beta +x_t^{\prime }d1(t\le \tau )+{\epsilon }_{t+1}\right)\right)\right]\\ & =\beta +{\Sigma }_{X,T-1}^{-1}{\Sigma }_{X,\tau }d,\end{array}\text{\hspace{1em}(19.2)}$$

其中 ${\Sigma }_{X,t}={\sum }_{s=1}^t{x}_s{x}_s^{\prime }$。如果对所有 $t$ 有 $E[{\Sigma }_{X,t}]=t{\Sigma }_X$，则 (19.2) 化简为 $\beta +(\tau /(T-1))d$。一般来说，预测模型的参数将被偏差 ${\Sigma }_{X,T-1}^{-1}{\Sigma }_{X,\tau }d$ 所偏离，且偏差随着结构突变幅度 $d$ 越大以及结构突变在样本中出现得越晚 $(\tau )$ 而越大。

模型不稳定性可能引起预测表现的突然"崩溃"，因为数据生成过程的参数可能已经发生偏移，而估计参数对突变之前的数据赋予了较大权重，从而产生有偏预测。对于大多数损失函数，这种偏差将增加损失；例如，在均方误差损失下，期望损失因偏差平方而增加。

例 19.1.2（具有单结构突变的线性回归，续）。 使用例 19.1.1 中的设定，注意在给定 $\{x_t{\}}_{t=1}^T$ 条件下

$$\begin{array}{rl}{y}_{T+1}-{\hat{\beta }}_T^{\prime }{x}_T& ={\epsilon }_{T+1}-({\hat{\beta }}_T-\beta {)}^{\prime }{x}_T\\ & ={\epsilon }_{T+1}+x_T^{\prime }{\Sigma }_{X,T-1}^{-1}{\Sigma }_{X,\tau }d+\left(\sum _{t=1}^{T-1}{\epsilon }_{t+1}{x}_t^{\prime }\right){\Sigma }_{X,T-1}^{-1}{x}_T\\ & \sim \left(x_T^{\prime }{\Sigma }_{X,T}^{-1}{\Sigma }_{X,\tau }d,{\sigma }^2\left(1+x_T^{\prime }{\Sigma }_{X,T-1}{x}_T\right)\right).\end{array}$$

由此可得均方误差为

$$E[y_{T+1}-{\hat{\beta }}_T^{\prime }{x}_T{]}^2=d^{\prime }{\Sigma }_{X,\tau }{\Sigma }_{X,T}^{-1}{x}_T{x}_T^{\prime }{\Sigma }_{X,T}^{-1}{\Sigma }_{X,\tau }d+{\sigma }^2\left(1+x_T^{\prime }{\Sigma }_{X,T-1}{x}_T\right).\text{\hspace{1em}(19.3)}$$

假设对所有 $t$ 有 $E[{\Sigma }_{X,t}]=t{\Sigma }_X$ 并对 $\{x_t{\}}_{t=1}^T$ 取期望，则 (19.3) 化简为 $(\tau /(T-1){)}^2{d}^{\prime }{\Sigma }_{X}d+{\sigma }^2(1+(k/T))$。

历史样本中参数发生单结构突变的另一个后果是，使用良好预测变量的预测模型最终可能产生较差的预测，因为参数估计是突变前和突变后模型的混合，或者更一般地，是时变系数的平均值。这可能导致出现这样的情况：有价值的预测变量对预测而言似乎没有信息量，因为混合后的参数估计接近于 0。Rossi (2013a)

给出一个类似于(19.1)的简单例子,其中$\begin{array}{r}\beta =-d\frac{\tau }{T-1}\end{array}$,使得关于$x_t$是否格兰杰引起$y_{t+h}$的全样本检验所产生的OLS估计量即使在$\beta \ne 0$且该预测变量在样本中每个时点都有用于预测的情况下也收敛到0。当然,这是一个非常特殊的情况,其中参数不稳定性的影响恰好消除了全样本中任何可预测性的证据。然而,更广泛地来看,该观点依然成立:可预测性可以在时间上局部存在,而传统的全样本检验可能没有能力检测到这一点。反过来也是可能的:全样本检验可能表明某些预测变量是有用的,即使在预测时刻${\beta }_T$接近于0。在我们的例子中,如果$\beta =0$但$d\ne 0$,就会出现这种情况。