18.5 区间预测评估

18.5 区间预测的评价

区间预测的形式是：声明未来结果将以概率 $\alpha$ 落入某个区间 $[p_{t+1|t}^1(\alpha ),p_{t+1|t}^{\mathrm{u}}(\alpha )]$，其中 $\alpha \in (0,1)$。此类预测的构造将在第 13.5 节中讨论。

为了评价区间预测，定义指示变量 $1_{y_{t+1}}=1(y_{t+1}\in [p_{t+1|t}^1(\alpha ),p_{t+1|t}^{\mathrm{u}}(\alpha )])$，当结果落入预测区间内时取值为 1，否则为 0。一个可检验的含义可以作为零假设，即

$$E\left[1_{y_{t+1}}\right]=\alpha .\text{\hspace{1em}(18.25)}$$

对于任何给定的结果和区间预测样本，这提示检验正确的无条件覆盖率 $\begin{array}{r}(T-1{)}^{-1}{\sum }_{t=1}^{T-1}{1}_{y_{t+1}}=\alpha \end{array}$。这引出了一个检验：结果以所声明的概率落入区间内，这恰好与校正（calibration）的思想相同，但适用于固定的概率。由于检验统计量是一个简单的样本均值，可以使用标准的 t 检验，或许辅以稳健标准误。同样，该性质不能作为基于不同条件信息的预测之间比较的依据。例如，基于 $y_{t+1}$ 的无条件分布的置信区间应当通过此检验。

Christoffersen (1998) 将正确的无条件覆盖率的概念扩展到给定一组信息下的正确条件覆盖率。这引出了零假设 $E\left[1_{y_{t+1}}|Z_t\right]=\alpha$，对于任意 $z_t$。具体地，Christoffersen 将区间预测序列 $\{p_{t+1|t}^1\dot{(}\alpha ),p_{t+1|t}^{\mathrm{u}}(\alpha ){\}}_{t=1}^{T-1}$ 称为关于条件信息 $Z_t=z_1,\dots ,z_t$ 是有效的，如果

$$E\left[1_{y_{t+1}}|Z_t\right]=\alpha .\text{\hspace{1em}(18.26)}$$

关键的要求是：条件效率要求 (18.26) 对所有 t 成立。这是一个比 (18.25) 中正确的无条件覆盖率性质强得多的要求。事实上，在条件效率零假设 (18.26) 下，Christoffersen 证明了检验 $E\left[1_{y_{t+1}}|z_1,\dots ,z_t\right]=E\left[1_{y_{t+1}}|1_{y_t},1_{y_{t-1}},\dots ,1_{y_1}\right]=\alpha$ 对所有 $t$ 成立，等价于检验序列 $\{1_{{\mathbf{y}}_t}\}$ 是参数为 α 的独立同分布伯努利分布 $\{{\underline{1}}_{y_t}\}\sim i.i.d$ Bern(α)。这提示了一个简单的检验。在零假设下，指示变量 $(1_{y_1},\dots ,1_{y_{T-1}})$ 的似然函数为

$$L(\alpha ;1_{{\gamma }_1},\dots ,1_{{\gamma }_{T-1}})=(1-\alpha {)}^{n_0}{\alpha }^{n_1},$$

其中 $n_0$ 是 $1_{y_t}=0$ 的情形数，$n_1=T-n_0-1$。在零假设下不需要估计任何参数。在指示变量具有一阶马尔可夫依赖的备择假设下，我们可以定义 $n_{ij}$ 为取值 i 之后出现取值 $j$ 的观测数，其中 $i,j\in \{0,1\}$，并定义 ${\pi }_{ij}=\mathrm{Pr}(1_{y_t}=j|1_{y_{t-1}}=i)$。则近似似然函数为

$$L({\pi }_{00},{\pi }_{11};1_{y_1},\dots ,1_{y_{T-1}})={\pi }_{00}^{n_{00}}(1-{\pi }_{00}{)}^{n_{01}}(1-{\pi }_{11}{)}^{n_{10}}{\pi }_{11}{}^{n_{11}}.$$

该似然函数需要估计两个参数 ${\pi }_{00}$ 和 ${\pi }_{11}$。对正确覆盖率和独立性的联合似然比检验为 (Christoffersen, 1998)

$$\mathrm{LR}=-2\log \left[L(1-\alpha ,\alpha ;1_{y_1},\dots ,1_{y_{T-1}})/L({\pi }_{00},{\pi }_{11};1_{y_1},\dots ,1_{y_{T-1}})\right],$$

在忽略与预测生成方式相关的估计误差问题的前提下，该统计量渐近服从 ${\chi }_2^2$ 分布。

分辨率和锐度的概念也已被用于（至少是非正式地）评价区间预测。锐度意味着区间较短。分辨率意味着区间预测的长度随条件信息而变化。