18.4 多类别预测的评估

18.4 多类别预测的评价

Pesaran 和 Timmermann (2009) 考虑了一系列直接适用于此类变量可预测性检验的多类别变量的相依性检验。假设结果变量有 $m_y$ 个类别，$y_{it+1},i=1,2,\dots ,m_y$，而预测有 $m_f$ 个类别，$f_{jt+1|t},j=1,2,\dots ,m_f$。对于序列独立的结果，$y_{t+1}$ 与 $f_{t+1|t}$ 之间的独立性检验可基于 $y_{t+1}$ 与 $f_{t+1|t}$ 之间的典型相关系数。对于序列相依的结果，Pesaran 和 Timmermann (2009) 证明，可以通过在考虑滞后值 $(y_{t+1}^{\prime },f_{t+1|t}^{\prime }{)}^{\prime }$ 效应后，对 $y_{t+1}$ 和 $f_{t+1|t}$ 的适当滤波版本进行典型相关分析，构建多类别可预测性检验。具体而言，他们提出了迹检验和最大典型相关检验，这些检验使用动态增广的降秩回归，易于计算。这些检验在一般条件下成立，仅要求结果和预测由遍历的有限阶马尔可夫过程生成。

为了理解该检验的工作原理，设 $Y=(y_2,y_3,\dots ,y_T{)}^{\prime }$ 和 $F=(f_{2|1},f_{3|2},\dots ,f_{T|T-1}{)}^{\prime }$ 分别是跟踪定性指标的 $(T-1)\times (m_y-1)$ 和 $(T-1)\times (m_f-1)$ 观测矩阵。设 $M_{\iota }=I_{T-1}-{\iota }_{T-1}({\iota }_{T-1}^{\prime }{\iota }_{T-1}{)}^{-1}{\iota }_{T-1}^{\prime }$，其中 ${\iota }_{T-1}$ 是 $((T-1)\times 1)$ 的全 1 向量。最后，定义 $S_{yf}=S_{fy}^{\prime }=(T-1{)}^{-1}{Y}^{\prime }{M}_{\iota }F$，$S_{yy}=(T-1{)}^{-1}{Y}^{\prime }{M}_{\iota }Y$，$S_{ff}=(T-1{)}^{-1}{F}^{\prime }{M}_{\iota }F$。

在结果不存在序列相依时，预测与结果之间的独立性迹检验具有渐近 ${\chi }^2$ 分布，即：

$$(T-1)\times \mathrm{trace}(S_{yy}^{-1}{S}_{yf}{S}_{ff}^{-1}{S}_{fy})\stackrel{a}{\sim }{\chi }_{(m_y-1)(m_f-1)}^2.\text{\hspace{1em}(18.22)}$$

在存在序列相依时，可预测性检验（即 $y_{t+1}$ 与 $f_{t+1|t}$ 之间的独立性）可基于在对两个变量的滞后值效应进行滤波后，$Y$ 和 $F$ 的典型相关系数的最大值或平均值。例如，在存在一阶相依时，我们首先计算 $S_w=S_{yy,w}^{-1}{S}_{yf,w}{S}_{ff,w}^{-1}{S}_{fy,w}$ 的特征值，其中

$$\begin{array}{rl}& S_{yy,w}=(T-1{)}^{-1}{Y}^{\prime }{M}_{w}Y,\\ & S_{ff,w}=(T-1{)}^{-1}{F}^{\prime }{M}_{w}F,\\ & S_{fy,w}=(T-1{)}^{-1}{F}^{\prime }{M}_{w}Y,\\ & M_w=I_{T-1}-W(W^{\prime }W{)}^{-1}{W}^{\prime },\end{array}$$

其中 $W=(\iota ,F_{-1},Y_{-1})$；$F_{-1}$ 和 $Y_{-1}$ 分别是 $((T-1)\times (m_f-1))$ 和 $((T-1)\times (m_y-1))$ 的矩阵，分别包含滞后值 $f_{t|t-1}$ 和 $y_t$。

Pesaran 和 Timmermann 证明，基于 $S_w$ 的迹检验等价于在以下动态增广降秩回归中检验 $\Pi =0$：

$$Y=F{\Pi }^{\prime }+WB+U,\text{\hspace{1em}(18.23)}$$

其中 $U$ 是 $((T-1)\times (m_y-1))$ 的序列不相关误差矩阵，$W$ 控制滞后变量的效应。Pesaran 和 Timmermann (2009, 定理 1) 证明，当 $T\to \infty$ 时，

$$(T-1)\times \mathrm{trace}(S_{yy,w}^{-1}{S}_{yf,w}{S}_{ff,w}^{-1}{S}_{fy,w})\stackrel{a}{\sim }{\chi }_{(m_y-1)(m_f-1)}^2,\text{\hspace{1em}(18.24)}$$

其中 $S_{yy}$，$S_{yf,w}$ 和 $S_{ff,w}$ 的定义如上。

这一直观结果表明，只要迹检验在动态增广回归的残差上进行，从而过滤掉任何动态效应，则静态情形下迹典型相关检验 (18.22) 的标准结果仍然成立。

在因变量仅有两个结果的特殊情况下，Pesaran 和 Timmermann (1992) 推导出一个简单的检验统计量。例如，假设我们有兴趣通过预测 $f_{t+1|t}$ 的符号来预测 $y_{t+1}$ 的符号。设 $P$ 为符号正确预测的概率，而 $P_y$ 和 $P_f$ 分别为观察到结果和预测为正值的概率。此外，设

$$\hat{P}=(T-1{)}^{-1}\sum _{t=1}^{T-1}{y}_{t+1}{f}_{t+1|t}>0,$$

$${\hat{P}}_y=(T-1{)}^{-1}\sum _{t=1}^{T-1}{y}_{t+1}>0,$$

$${\hat{P}}_f=(T-1{)}^{-1}\sum _{t=1}^{T-1}{f}_{t+1|t}>0$$

为这些概率的相应样本估计。在原假设下，即结果的符号与预测的符号独立分布，则 $P=P^{\ast }\equiv P_f{P}_y+(1-P_f)(1-P_y)$。因此，检验可基于差值 $(P-P^{\ast })$。Pesaran 和 Timmermann (1992) 证明，当 $T\to \infty$ 时，

$$S_T=\frac{\hat{P}-{\hat{P}}_{\ast }}{\sqrt{\widehat{\mathrm{var}}(\hat{P})-\widehat{\mathrm{var}}({\hat{P}}_{\ast })}}\stackrel{a}{\sim }\mathrm{N}(0,1),$$

其中

$$\begin{array}{rl}& {\hat{P}}_{\ast }={\hat{P}}_y{\hat{P}}_f+(1-{\hat{P}}_y)(1-{\hat{P}}_f),\\ & \widehat{\mathrm{var}}(\hat{P})=(T-1{)}^{-1}{\hat{P}}_{\ast }(1-{\hat{P}}_{\ast }),\\ & \widehat{\mathrm{var}}({\hat{P}}_{\ast })=(T-1{)}^{-1}(2{\hat{P}}_y-1{)}^2{\hat{P}}_f(1-{\hat{P}}_f)+(T-1{)}^{-1}(2{\hat{P}}_f-1{)}^2{\hat{P}}_y(1-{\hat{P}}_y)\\ & +4(T-1{)}^{-2}{\hat{P}}_y{\hat{P}}_f(1-{\hat{P}}_y)(1-{\hat{P}}_f).\end{array}$$

该检验计算起来非常简单，已被应用于股票收益的市场择时研究，以及调查参与者能否预测其所在公司价格涨跌的检验中。然而，该检验未考虑结果或预测中的序列相依性。