18.2.2 决议

18.2.2 分辨力

分辨力（Resolution）回答以下问题：条件分布是否不同于无条件分布？我们在例子中看到，校准（calibration）无法区分条件密度的正确设定与无条件密度的正确设定。分辨力试图解决这一问题。分辨力通常通过条件均值和无条件均值之差 $E\left[Y|\hat{p}\right]-E\left[Y\right]$ 来检验，因此它是预测值 $\hat{\mathbf{p}}$ 的函数。平均分辨力依赖于对该平方差在不同 $\hat{\mathbf{p}}$ 值上求平均。对于二元结果，高分辨力要求密度预测能够区分不同情形下 $Y=1$ 的可能性。如果密度预测与该结果的无条件分布等价，则分辨力等于 0。

沿着与校准相同的路径，我们可以通过关注某个事件 $A$，从任何连续分布构造二元结果。对于任何这样的事件 $A$，我们可以考察 $\begin{array}{r}P\left[y_{t+1}\in A|{\int }_A{\hat{p}}_{t+1}(y)dy=p\right]\end{array}$ 与 $P[y_{t+1}\in A]$ 之间的差异。

例 18.2.3（高斯密度预测的比较，续）。 当 $A=$ $\{y_{t+1}>0\}$ 时，我们知道对于第二个预测，$\begin{array}{r}{\int }_A{p}_{Y2t+1}(y)dy=\Phi ({\mu }_t)\end{array}$。无条件地，$P\left[y_{t+1}\in A\right]=0.5$。那么对事件 $A$ 的条件预测与无条件预测之差为 $\Phi ({\mu }_t)-0.5$。显然，条件信息（对 ${\mu }_t$ 的了解）产生了不同的预测，这正是分辨力背后的思想。这个例子还表明，对差值取平方是有意义的，因为该差值在 ${\mu }_t<0$ 时为正，在 ${\mu }_t>0$ 时为负。

同样，可以使用 $\mathbf{p}$ 值的"分箱"（bins）或值域来检验分辨力。使用分箱可为每次比较提供多个观测值。使用与 (18.11) 中相同的各项定义，使用 $m$ 个分箱的分辨力度量如下：

$$\frac{1}{T}\sum _{i=1}^m{n}_i({\bar{y}}_i-\bar{p}{)}^2,\text{\hspace{1em}(18.13)}$$

其中 $\bar{p}$ 是事件 $y_{t+h}\in A$ 的（无条件）样本均值。与校准一样，可以使用非参数方法来估计分辨力作为 $p$ 的函数。

18.2.3 锐度

锐度（Sharpness）是分布预测的一种性质，因此不依赖于结果 $y_{t+1}$。这一性质关注分布预测能否相对清晰地区分不同的结果。对于二元结果而言，以例如 80% 的高概率预测 $y_{t+1}=1$ 比以 55% 的概率预测该事件更为锐利。当针对连续分布的结果时，如果预测将零概率赋予全部可能结果中的一个较大集合，并将高概率赋予那些被预测会发生的结果，则认为该预测是"锐利的"。换言之，$\mathrm{if}$, 对于任意概率 $P$，若在 $y_{t+1}$ 的支撑集上存在区间 $A$，使得 ${\int }_A{p}_{t+1}(y)dy=p$，那么区间 $A$ 的长度较短。

例 18.2.4（高斯密度预测的比较，续）。 设 $p=0.9$。对于第一个预测，$\overline{{\int }_{A_1}{p}_{Y1t+1}(y)dy}=0.9$，其中 $A_1=\{-2.33,2.33\}$。对于第二个预测，$\begin{array}{r}{\int }_{A_2}:p_{Y2t+1}(y)d\dot{y}=0.9\end{array}$，其中 $A_{2t}=\{{\mu }_t-1.645,{\mu }_t+1.645\}$。显然，第二个预测比第一个预测更为锐利。

由于人们总是可以通过将概率 1 赋予单个点来给出非常锐利的预测，因此锐度性质必须（并且在实践中也确实是）与其他理想预测的性质结合使用。Mitchell 和 Wallis（2011）提出了关于锐度在实际应用中的一些其他问题。