18.1.3 波动率预测的实证应用

18.1.3 波动率预测的实证应用

金融领域中密度预测的应用通常聚焦于波动率建模。如第2章所述，Patton (2011) 指出，即使结果变量存在噪声但可以通过已实现方差进行代理时， MSE 和 QLIKE 损失函数也可用于对波动率预测进行一致性排序。Patton (2011) 建议对上述损失函数应用 Diebold–Mariano 检验。

表 18.1 展示了该方法在以标普 500 指数衡量的股票市场日收益率上的应用示例。作为基准，我们采用风险度量模型（按因子 $\lambda =0.94$ 对过去平方收益进行指数递减加权）以及 300 日滚动窗口波动率估计量。这些预测将与 GARCH(1,1) 模型以及一个通过 AIC 选择滞后阶数、基于已实现方差序列估计的 AR 模型进行比较，使用 MSE 损失函数。初始估计窗口采用 2000 年至 2009 年末共 10 年的数据，样本外评估期从 2010 年至 2015 年 3 月 31 日，覆盖超过五年。预测精度采用已实现方差作为结果变量的代理进行衡量。Diebold–Mariano 检验值为正表示先列出模型的平方误差高于后列出模型。结果显示，AR 模型表现最佳，事实上以接近 5% 的 $p-$ 值击败了 GARCH 和滚动窗口模型。相反，滚动窗口方法在该应用中表现较差。

18.2 分布预测特征的评价

通过某种损失函数考察密度预测之外，另一种方法是检视密度预测的某些特征。其思路是检验结果变量分布的某些特征是否与分布预测所隐含的特征良好吻合。这可以直接通过比较预测分布与"实际"分布并考察二者是否相同来实现，也可以通过考察概率分布的某些特征来实现。

基于特征的评价方法在 $Y$ 取值为 0 或 1（即二元随机变量，概率预测为 ${\hat{p}}_t=p(Y_{t+1}=1|z_1,...,z_t)$ ）的情形下得到了最充分的发展。Murphy (1973) 证明了标准二次概率得分 $E[(Y_{t+1}-{\hat{p}}_t{)}^2]$ 可作如下分解（见公式 (15.3)）：

$$\begin{array}{rl}& E\left[(Y_{t+1}-{\hat{p}}_t{)}^2\right]=\mathrm{Var}(Y_{t+1})+E[({\hat{p}}_t-E\left[Y_{t+1}|{\hat{p}}_t\right]{)}^2]\\ & -E[E\left[Y_{t+1}|{\hat{p}}_t\right]-E[Y_{t+1}]{]}^2.\end{array}\text{\hspace{1em}(18.9)}$$

式 (18.9) 中的第一项为结果变量的无条件方差，与预测无关；第二项为平均平方校准误差；最后一项称为分辨率项（resolution），是给定预测的条件均值与无条件均值之差的平方均值。下文将考察校准与分辨率；我们希望校准尽可能小（趋近于 0），而分辨率尽可能大，从而使 MSE 较小。

为了计算式 (18.9) 的分解，对于 $b_{\mathcal{P}i}$ 服从离散分布的情形，我们将 0 到 1 的区间划分为 $m$ 个区间，其中心为 $p_i,i=1,\dots ,m$。再次假设我们有 $T_P$ 个（样本外）观测值用于评价预测表现，并观察到第 $i$ 个区间中有 $n_i$ 个观测，因此 $T_P={\sum }_{i=1}^m{n}_i$。对于每个区间，我们预测 ${\nabla }_{Pi}$ 个结果等于 1。对每个 $i$，设结果为 $y_{ij},j=1,\dots ,n_i,$，并令 ${\bar{y}}_i=n_i^{-1}{\sum }_{j=1}^{n_i}{y}_{ij}$ 为对应的结果样本均值。对于 $Y=0,1$ 的特殊情形，Murphy (1973) 提出了如下分解：

$$T_P^{-1}\sum _{t=T_R}^{T-1}(y_{t+1}-p_t{)}^2=T_P^{-1}\sum _{i=1}^m{n}_i({\bar{y}}_i-p_i{)}^2-T_P^{-1}\sum _{i=1}^m{n}_i({\bar{y}}_i-\bar{y}{)}^2+\bar{y}(1-\bar{y}).\text{\hspace{1em}(18.10)}$$

一个好的预测（即 MSE 较小的预测）应使校准尽可能接近 0，分辨率尽可能高。校准与分辨率之间存在相关性，因此如何调整这两个指标以最小化均方损失并不明确，因为任何降低校准项的尝试都可能同时降低分辨率。

为推导式 (18.10) 的分解，请注意

$$\begin{array}{rl}& \mathbb{E}\frac{\frac{\lambda }{2}}{\lambda }{\sum }_{i=0}^N-{\lambda }^2{\sum }_{j=1}^N-{\lambda }^2{\sum }_{i=1}^N\\ & -\mathbb{E}\frac{\lambda }{2}{\sum }_{i=0}^N-{\lambda }^2{\sum }_{j=1}^N-{\lambda }^2{\sum }_{i=1}^N{\sum }_{j=1}^N{\lambda }^2\\ & -{\lambda }^2\frac{\lambda }{2}{\sum }_{i=0}^N{\lambda }^2\left({\sum }_{j=1}^N-{\lambda }^2{\sum }_{i=1}^N-{\lambda }^2{\sum }_{j=1}^N{\lambda }^2\right)\\ & -\mathbb{E}\frac{\lambda }{2}{\sum }_{i=0}^N{\lambda }^2\left({\lambda }^2-{\sum }_{j=1}^N-{\lambda }^2{\sum }_{i=1}^N{\lambda }^2\right)\\ & -\mathbb{E}\frac{\lambda }{2}{\sum }_{i=0}^N{\lambda }^2\left({\lambda }^2-{\sum }_{j=1}^N-{\lambda }^2{\sum }_{i=1}^N{\lambda }^2\right)\\ & -\mathbb{E}\frac{\lambda }{2}{\sum }_{i=0}^N{\lambda }^2\left({\sum }_{j=1}^N-{\lambda }^2{\sum }_{i=1}^N{\lambda }^2\right)\\ & -\mathbb{E}\frac{\lambda }{2}{\sum }_{i=0}^N{\lambda }^2\left({\lambda }^2-{\sum }_{j=1}^N-{\lambda }^2{\sum }_{i=1}^N{\lambda }^2\right)\\ & -\mathbb{E}\frac{\lambda }{2}{\sum }_{i=0}^N\end{array}$$

这里我们使用了 $\begin{array}{r}{T}_P^{-1}{\sum }_{i=1}^m{n}_i{\bar{y}}_i=\bar{y}\end{array}$。第一项是校准（忽略 $p_i(1-p_i)$ 的缩放），而第二项是分辨率。

Brier 分数还存在其他分解方式（参见例如 Sanders, 1963），其中一种分解产生一个称为锐度（sharpness）的性质，它指的是分布预测的集中程度。锐度是预测本身的特征，而非预测与结果之间的关系。它通常基于 [0, 1] 上概率预测的直方图进行评估。一个锐利的预测在 1 或 0 附近具有大量概率质量，其思想是预测对哪个结果将会发生给出了决定性的信号。

从二元问题到一般分布的扩展直到最近才得到处理。我们的讨论反映了关于此类扩展的少量正式文献，并忽略了一些较少使用的密度预测性质。我们首先介绍校准，然后是分辨率，最后是锐度。