18.1.2 密度预测的比较

18.1.2 比较密度预测

Amisano 和 Giacomini (2007) 的方法使用对数评分规则来比较两个密度预测 ${\hat{p}}_{Y1}(y|z)$ 和 ${\hat{p}}_{Y2}(y|z)$。采用与 Giacomini 和 White (2006) 类似的设定来建立分布理论，Amisano 和 Giacomini (2007) 假设每个连续预测都基于观测值的滚动窗口，这确保了估计误差不会在渐近意义上消失。设 $y_{t+1}$ 为其密度正在被预测的结果变量，Amisano 和 Giacomini (2007) 基于对数分数的学生化加权平均差异进行密度评估，即

$$t_{\mathrm{AG}}={\hat{\sigma }}_{T_P}^{-1}\sqrt{T_P}\sum _{t=T_R}^{T-1}w\left(\frac{y_{t+1}-{\hat{\mu }}_t}{{\hat{\sigma }}_t}\right)\left(\log \left[{\hat{p}}_{Y1t}(y_{t+1})\right]-\log \left[{\hat{p}}_{Y2t}(y_{t+1})\right]\right),\text{\hspace{1em}(18.6)}$$

其中 $\log \lceil {\hat{p}}_{Yit}(y_{t+1})\rceil$ 是第 $i$ 个预测分布在结果 ${\mathbf{y}}_{t+1}$ 处取值的对数，${\hat{\mathbf{\mu }}}_{\mathbf{t}}$ 和 ${\hat{\sigma }}_t$ 分别是 $y_{t+1}$ 均值和方差的估计，基于用于构建预测的相同滚动估计窗口，${\hat{\sigma }}_{T_P}^2$

是以下序列长期方差的估计：

$$\left\{w\left(\frac{y_{t+1}-{\hat{\mu }}_t}{{\hat{\sigma }}_t}\right)\left(\log \left[{\hat{p}}_{Y1t}(y_{t+1})\right]-\log \left[{\hat{p}}_{Y2t}(y_{t+1})\right]\right)\right\}$$

其中 $t=T_R,\dots ,T-1$。使用第 16 章和第 17 章的符号，$T_P=T-T_R$ 是评估样本的长度，$T_R$ 是预测样本的起始点。

Amisano 和 Giacomini (2007) 建议使用标准方法（如 Newey 和 West (1987)）来估计 ${\hat{\sigma }}_{T_P}^2$。如果需要，可以选择 $w(\cdot )$ 来对分布的不同部分施加或多或少的权重。例如，关于 $w(\cdot )$ 的零均值对称密度会赋予 $y_{t+1}$ 均值附近的观测值比尾部更大的权重。这对于具有 MSE 损失的预测者可能是合适的。作者提出了一系列其他加权函数，对应于检验焦点的其他可选位置。在相当一般的假设下，他们提供了结果，表明 $t_{\mathrm{AG}}$ 的极限分布是标准正态分布，因此可以与标准临界值进行比较。

Gneiting 和 Ranjan (2011) 提出了对 Amisano 和 Giacomini (2007) 方法的一种调整，该调整基于数据函数和密度预测之和的不同函数。他们对密度支撑区域进行加权的方法保证是恰当的，即如果真实预测密度包含在被比较的密度模型中，则将其排名最高。同样，这导致一个渐近正态分布的检验统计量。

第 17 章表明，逐对的点预测比较已被扩展到多个点预测的比较。类似的扩展已被提出用于比较多个密度预测的准确性。采用 White (2000) 的 Reality Check 方法，Corradi 和 Swanson $(2006\mathsf{a},\mathsf{b})$ 提出了方法来检验在多个可能的误设模型中由一个模型生成的密度预测是否在更接近数据的意义上优于某个基准模型。他们的方法考虑参数化密度模型 ${\hat{p}}_{Yit}(y_{t+1},{\theta }_i),i=1,...,n$，其参数使用例如准最大似然估计量 ${\hat{\theta }}_{it}$ 递归更新，该估计量最小化 $-{\sum }_{\tau =1}^{t-1}$ ln ${\rho }_{Yi\tau }(y_{\tau +1},{\theta }_i)$。每个密度模型与一个条件分布相关联，${\hat{F}}_{Yit}(u,{\theta }_i)=$ $\mathrm{Pr}(y_{t+1}\le u|Z_t,{\theta }_i)$，其中 $F_{0t}(u,{\theta }_0)$ 是真实条件概率分布。Corradi 和 Swanson 建议使用平方误差来度量概率分布与数据之间的距离，并假设第一个模型是我们感兴趣击败的基准模型。按照 White (2000) 的方法，他们检验复合原假设：即使在备选模型 $k=2,\dots ,m$ 中最优的模型也无法生成比基准模型所隐含的分布预测更接近"真实"分布的分布预测：

$$\underset{k=2,\dots ,m}{\max }{\int }_{U}E\left[{\left({\hat{F}}_{1t}(u,{\theta }_1^{\ast })-F_{0t}(u,{\theta }_0^{\ast })\right)}^2-{\left({\hat{F}}_{kt}(u,{\theta }_k^{\ast })-F_{0t}(u,{\theta }_0^{\ast })\right)}^2\right]\phi (u)du\le 0,\text{\hspace{1em}(18.7)}$$

其中 ${\theta }_i^{\ast }$ 是 ${\hat{\theta }}_{it}$ 的概率极限。备择假设是该表达式大于 0。这里 $\phi (u)\ge 0$ 且 $\begin{array}{r}{\int }_U\dot{\phi }(u)du=1\end{array}$。

(18.7)中的检验统计量用于检验第k个模型的累积分布函数值相对于真实条件分布的均方误差是否小于第一个（基准）模型的均方误差。负值表明没有任何模型的表现优于基准模型，因此表明应优先选择基准模型。在实际应用中，真实条件分布当然是未知的——否则我们一开始就不存在模型选择问题了——因此Corradi和Swanson提出通过如下统计量来检验(18.7)中的原假设：

表18.1： Diebold–Mariano检验应用于GARCH(1,1)、风险度量和日度美国股票市场波动率的滚动窗口预测。

注：样本外区间为2000–2010年，使用日度数据。

$$\begin{array}{rl}& W_{T_P}=\underset{k=2,\dots ,m}{\max }\frac{1}{\sqrt{T_P}}{\int }_U\sum _{t=T_R}^{T-1}[{\left({\hat{F}}_{1t}(u,{\hat{\theta }}_{1,t})-1(y_{t+1}\le u)\right)}^2\\ & -{\left({\hat{F}}_{kt}(u,{\hat{\theta }}_{k,t})-1(y_{t+1}\le u)\right)}^2]\phi (u)du,\end{array}\text{\hspace{1em}(18.8)}$$

其中指示函数1(·)在括号内条件为真时等于1，否则等于0。因此，概率预测可以直接与评估样本中特定量级的结果发生率进行比较。Corradi和Swanson（2006c）综述了该检验统计量的理论和实现方法，与White（2000）一样，该方法基于自助法（bootstrap）。