识别优选模型

17.7 识别更优模型

White（2000）和Hansen（2005）所采用的方法旨在探讨是否存在更优的模型。通过使用最大统计量，White和Hansen均能识别出显著优于基准模型的模型，即那些个体t统计量超过适当临界值的模型。他们的方法并未超越这一第一步去尝试识别具体哪个模型优于基准模型，也未涉及有多少个能击败基准模型的模型存在。这一问题由Romano和Wolf（2005）解决，他们开发了一种逐步方法，以一种控制所谓族错误率（即错误地将至少一个预测模型识别为更优的事件）的方式对White的自助法进行迭代，并可通过在后续步骤中收紧临界值来识别其他显著的备选模型。与White的方法类似，他们的方法通过考虑各模型检验统计量之间的相关性，相对于Bonferroni界获得了检验功效的提升。

为理解Romano和Wolf（2005）的基本StepM方法如何运作，不妨假设我们已经根据样本外预测表现${\bar{d}}_1,\dots ,{\bar{d}}_m$将模型从最优到最差进行了排序。该程序的第一步使用在α%显著性水平下进行的一步White自助法来估计与原假设（即最优模型也不优于基准）相关联的临界值$c_{1\alpha }$。如果该步骤未导致拒绝原假设，则无需继续，因为没有任何模型能击败基准。相反，如果拒绝原假设，则所有表现满足${\bar{d}}_j<c_{1\alpha }$的模型将被剔除。接下来，重复上述步骤，但仅纳入候选集中保留下来的模型，以便为这些模型确立新的临界值$c_{2\alpha }$。该程序持续进行，直至没有更多的模型被剔除。Romano和Wolf提出的算法能够渐近地识别出所有优于基准的模型，同时剔除较差的模型并保持对族错误率的控制。

Hansen、Lunde和Nason（2011）避免了需要设定一个随机或固定的基准模型来与众多模型进行比较的需要。他们的模型置信集能够以一定的置信水平识别出包含最优（但通常未知）模型的模型子集。模型置信集的构建基于一个等价性检验和一个剔除规则。等价性检验用于检验某个（更优）模型集合中所包含的模型是否具有相等的预测表现。如果等价性检验被拒绝，则保留集合中的模型并非同等优秀，此时剔除规则用于识别应当剔除哪些模型。

具体而言，设${\mathcal{M}}_0=\{M_1,...,M_m\}$表示初始待考察的模型集合。每个模型$i$在时期$t$产生一个损失$L_{i,t+1|t}$，因此在时期$t$比较模型$i$与模型$j$时的差分损失为：

$$d_{ij,t+1}=L_{i,t+1|t}-L_{j,t+1|t},i,j\in {\mathcal{M}}_0.\text{\hspace{1em}(17.44)}$$

Hansen、Lunde和Nason（2011）提出了一个用于构建模型置信集的简单算法。第一步设$\mathcal{M}={\mathcal{M}}_0$，即待考察的完整模型集合。第二步使用等价性检验在临界水平α下检验$H_{0,\mathcal{M}}:E[d_{ij,t+1}]=0$，对所有$i,j\in \mathcal{M}$成立。如果$H_{0,\mathcal{M}}$被接受，则估计的模型置信集为${\hat{\mathcal{M}}}_{1-\alpha }^{\ast }=\mathcal{M}$。如果拒绝原假设，则使用剔除规则从$\mathcal{M}$中剔除一个模型，并在缩减后的模型集合上重复该程序。该程序持续进行，直至等价性检验不再拒绝且无需进一步剔除模型。

上述描述仍遗留一个问题，即应当采用何种检验来剔除预测模型并构建模型置信集。一种自然的方法是考虑各模型的样本外预测表现。为此，Hansen、Lunde和Nason（2011）定义了两个相对样本损失度量：${\bar{d}}_{ij}=T_P^{-1}{\sum }_{t=T_R}^{T-1}{d}_{ij,t+1}$，用于捕捉模型$i$与模型$j$之间的相对样本损失；以及${\bar{d}}_{i\bullet }=m^{-1}{\sum }_{j\in \mathcal{M}}{\bar{d}}_{ij}$，用于捕捉模型$i$相对于$\mathcal{M}$中$m$个模型平均损失的相对样本损失。检验中可使用学生化检验统计量：

$$\begin{gathered} t_{ij}=\frac{{\bar{d}}_{ij}}{\sqrt{\widehat{\text{var}}({\bar{d}}_{ij})}},i,j\in \mathcal{M}, \\ {t}_{i\bullet }=\frac{{\bar{d}}_{ij}}{\sqrt{\widehat{\text{var}}({\bar{d}}_{i\bullet })}},\text{\hspace{1em}(17.45)} \end{gathered}$$

其中$\widehat{\text{var}}({\bar{d}}_{ij})$和$\widehat{\text{var}}({\bar{d}}_{i\bullet })$为相应总体量的样本估计。(17.45)式中的第一个检验统计量类似于Diebold和Mariano（1995）为比较模型$i$与模型$j$预测精度并检验原假设$E[{\bar{d}}_{ij}]=0$所提出的t检验。为将(17.45)式中的多个t检验转化为更简洁的形式以检验所有模型具有等价预测表现的原假设，Hansen、Lunde和Nason（2011）针对$H_{0,\mathcal{M}}$提出了以下检验统计量：

$$\begin{array}{c}{T}_{\max ,\mathcal{M}}=\underset{i\in \mathcal{M}}{\max }\left\{t_{i\bullet }\right\},\\ \\ T_{R,\mathcal{M}}=\underset{i,j\in \mathcal{M}}{\max }\left|t_{ij}\right|.\end{array}$$

这些检验统计量具有非标准的渐近分布，其临界值可以按照 White (2000) 和 Hansen (2005) 中描述的方法通过自助法（bootstrap）得到。与 $T_{\max ,M}$ 相对应的自然淘汰规则记为 $e_{\max ,\mathcal{M}}$，其定义为 $e_{\max ,\mathcal{M}}=\arg {\max }_{i\in \mathcal{M}}{t}_{i\bullet }$，即在拒绝 $H_{0,\mathcal{M}}$ 的情况下，将针对平均损失具有最大 $t$ 统计量（因而表现最差）的模型淘汰。对于 $T_{R,\mathcal{M}}$ 检验统计量，Hansen、Lunde 和 Nason (2011) 提出了淘汰规则 $e_{R,\mathcal{M}}=\arg {\max }_{i\in \mathcal{M}}\sup t_{ij}$，即淘汰相对于其他模型表现最差的模型。