17.4.2 重新中心化的检验统计量

17.4.2 重新中心化的检验统计量

Clark 和 West（2007）认为，在用于构建 $f_{2t+1|t}$ 的（大）模型嵌套用于构建 $f_{1t+1|t}$ 的（小）模型的情形下，包容检验应当考虑 ${\hat{e}}_{1t+1}$ 与 $({\hat{e}}_{2t+1}-{\hat{e}}_{1t+1})$ 之间的协方差。他们注意到，预测误差平方差为

$${\hat{e}}_{1t+1}^2-{\hat{e}}_{2t+h}^2=-2{\hat{e}}_{1t+1}({\hat{e}}_{2t+h}-{\hat{e}}_{1t+1})-({\hat{e}}_{2t+1}-{\hat{e}}_{1t+1}{)}^2.\text{\hspace{1em}(17.29)}$$

(17.7) 中 $\hat{\beta }$ 分子所包含的项是 (17.29) 式中的第一项。当受约束（小）模型为真时，由于大模型需要估计更多参数，我们预期由大模型生成的预测方差更大。当小模型包容大模型时，我们预期 MSE 的均值之差为负，因此即便两个模型都是"正确的"（其中一个的参数设定更为冗余），(17.29) 式的左端平均而言仍预期为负。当预测在（加权）平均意义上相等时，(17.29) 式右端第一项的预期值为 0。(17.29) 式右端最后一项显然平均为正。Clark 和 West（2007）认为，应当用 (17.29) 式中的第二项对 MSE 差值进行修正，以消除负偏差，从而建议对样本均值 ${\hat{e}}_{1t+1}^2-{\hat{e}}_{2t+h}^2+({\hat{e}}_{2t+1}-{\hat{e}}_{1t+1}{)}^2=-2{\hat{e}}_{1t+1}({\hat{e}}_{2t+1}-{\hat{e}}_{1t+1})$ 进行检验。这启发了在嵌套预测模型情形下，将 ${\hat{e}}_{1t+h}$ 与 $({\hat{e}}_{2t+1}-{\hat{e}}_{1t+1})$ 之间的协方差是否为零作为 MSE 相等的检验。

Clark 和 West（2007）提出了如下调整后的 MSE 检验统计量：

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{MSE}}^{adj}& =T_P^{-1}\sum _{t=T_R}^{T-1}{\hat{e}}_{1t+1}^2-\left[T_P^{-1}\sum _{t=T_R}^{T-1}{\hat{e}}_{2t+1}^2-T_P^{-1}\sum _{t=T_R}^{T-1}({\hat{f}}_{1t+1|t}-{\hat{f}}_{2t+1|t}{)}^2\right]\\ & =-2T_P^{-1}\sum _{t=T_R}^{T-1}{\hat{e}}_{1t+1}({\hat{f}}_{1t+1|t}-{\hat{f}}_{2t+1|t})\\ & =2T_P^{-1}\sum _{t=T_R}^{T-1}{\hat{e}}_{1t+1}({\hat{e}}_{1t+1|t}-{\hat{e}}_{2t+1|t}).\end{array}\text{\hspace{1em}(17.30)}$$

其中，$T_P^{-1}{\sum }_{t=T_R}^{T-1}({\hat{f}}_{1t+1|t}-{\hat{f}}_{2t+1|t}{)}^2$ 度量了参数估计误差对第二个（大）模型的影响超过对嵌套的第一个（小）模型影响的程度。由于该项从第二个模型的 MSE 表现中减去，调整后的 MSE 检验当然会使大模型看起来比不含此类调整项的传统 MSE 检验更好。

具体地，定义

$${\tilde{d}}_{t+1}=(y_{t+1}-{\hat{f}}_{1t+1|t}{)}^2-\left[(y_{t+1}-{\hat{f}}_{2t+1|t}{)}^2-({\hat{f}}_{1t+1|t}-{\hat{f}}_{2t+1|t}{)}^2\right].\text{\hspace{1em}(17.31)}$$

然后我们可以将调整后的 MSE 差值 ${\tilde{d}}_{t+1}$ 对常数项进行 OLS 回归，

$${\tilde{d}}_{t+1}=\mu +{\epsilon }_{t+1},\text{\hspace{1em}(17.32)}$$

并对 $\mu$ 采用单侧 $t$ 检验。Clark 和 West 建议将这一调整后的 MSE 检验与标准正态分布的临界值进行比较，即对于显著性水平为 10% 的检验使用 1.282，对于 5% 的检验使用 1.645，尽管在足够大的样本中，这会导致实际显著性水平略低于名义水平。

调整后的检验统计量与前面提到的包容性检验密切相关。事实上，基于 (17.31) 和 (17.32) 式的相等预测能力的调整检验的 $t$ 统计量与 ENC-T 统计量相同，且 Clark 和 West（2007）给出了 ENC-T 检验在何种条件下渐近服从正态分布的成立条件。⁹

同样，这一检验探讨的是在伪真概率极限下，一个模型是否优于另一个模型。就其构造而言，相对于未经调整的 MSE 检验，该检验更偏向于支持大模型而非小模型。即便从检验中得出大模型最优的结论，也并不意味着在任何给定的有限样本中，使用该模型生成样本外预测就是最佳的。这是因为调整项实际上并未减少大模型的预测误差——它仅用于在不考虑参数估计误差因素的情况下，精确推断两个模型的相对表现。