17.4.1 嵌套模型所引发的复杂性

17.4.1 嵌套模型所产生的复杂性

West（1996）已经证明，两个非嵌套模型的相对预测误差在渐近意义上服从正态分布，尽管其标准误需要考虑估计误差。当模型是嵌套时，这一结果或 West 和 McCracken（1998）的结果便不再成立。在零假设下，即较大模型的额外预测变量系数为零因而无关紧要时，较大模型和较小模型的预测结果将完全相同。在估计误差效应消失的极限下，两个模型预测绩效之差的标准误因此为零。基于 MSE 差异的检验统计量因此具有非标准的极限分布。

为应对这种情况，Clark 和 McCracken（2001）考虑对（17.7）式中 $\beta =0$ 的 t 检验，以及用于检验一个模型是否包含（encompass）其所嵌套的较小模型的 ENC-T 和 ENC-NEW 统计量。这些检验的分布通常是非标准的，且（17.9）式和（17.10）式中 ENC-T 和 ENC-REG 方法的极限分布在零假设下是渐近等价的。这些非标准分布取决于两个预测模型参数个数之差、用于生成样本外预测的估计方法（即静态、滚动或递归窗口），以及样本外观测值与样本内观测值之比 $T_P/T_R$。随着这一比率变小，检验统计量越来越接近标准正态分布。Clark 和 McCracken 提供了通过蒙特卡洛近似零分布而构造的若干情形下的临界值。

为说明这种非标准分布是如何产生的，我们沿用 Hansen 和 Timmermann（2012）的分析，考虑一个仅含常数的简单回归模型：

$$y_{t+1}=\beta +{\epsilon }_{t+1},{\epsilon }_{t+1}\sim (0,{\sigma }_{\epsilon }^2).\text{\hspace{1em}(17.24)}$$

假设 $\beta$ 通过递归最小二乘估计，即 ${\hat{\beta }}_t=t^{-1}{\sum }_{s=1}^t{y}_s$。使用该模型，$y_{t+1}$ 在给定第 $t$ 期信息时的一步向前预测即为样本均值，即 ${\hat{f}}_{t+1|t}={\hat{\beta }}_t$。沿用 Hansen 和 Timmermann 的方法，我们将此预测与一个不需要估计任何参数的简单基准预测 ${\hat{f}}_{t+1|t}^b=0$ 进行比较。

再次假设使用 $T_R$ 个观测值进行初始估计，而样本中剩余的 $T_P=T-T_R$ 用于预测评估，并令 $\lambda =T_R/T$ 为用于初始估计的样本比例，而 $1-\lambda$ 用于样本外评估。

我们通过相对于基准预测的样本外 MSE 值来评估预测效果：

$$D_T(\lambda )=\sum _{t=T_R}^{T-1}{\left(y_{t+1}-{\hat{f}}_{t+1|t}^b\right)}^2-{\left(y_{t+1}-{\hat{f}}_{t+1|t}\right)}^2.\text{\hspace{1em}(17.25)}$$

利用（17.25）式中两个预测误差的形式，我们有

$$\begin{array}{l}{D}_T(\lambda )={\sum }_{t=T_R}^{T-1}{\left(y_{t+1}-{\hat{f}}_{t+1|t}^b\right)}^2-{\left(y_{t+1}-{\hat{f}}_{t+1|t}\right)}^2\\ ={\sum }_{t=T_R}^{T-1}(y_{t+1}-\beta +\beta {)}^2-{\left(y_{t+1}-\beta -({\hat{\beta }}_t-\beta )\right)}^2\\ ={\sum }_{t=T_R}^{T-1}({\epsilon }_{t+1}+\beta {)}^2-{\left({\epsilon }_{t+1}-\frac{1}{t-1}{\sum }_{s=1}^{t-1}{\epsilon }_{s+1}\right)}^2\\ ={\sum }_{t=T_R}^{T-1}{\beta }^2+2\beta {\epsilon }_{t+1}-{\left(\frac{1}{t-1}{\sum }_{s=1}^{t-1}{\epsilon }_{s+1}\right)}^2+2\left(\frac{1}{t-1}{\sum }_{s=1}^{t-1}{\epsilon }_{s+1}\right){\epsilon }_{t+1}.\end{array}$$

嵌套模型比较的样本外 MSE 检验统计量的模拟临界值（较大模型含两个额外回归变量）。

接下来，定义偏和：

$$W_T(u)=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum _{s=1}^{\lfloor uT\rfloor }{\epsilon }_s,u\in [0,1].$$

由 Donsker 定理，$W_T(u)\Rightarrow {\sigma }_{\epsilon }B(u)$，其中 $B(u)$ 是标准布朗运动。因此，正如 Hansen 和 Timmermann（2012）所证明的，

$$\sum _{t=T_R}^{T-1}{\left(\frac{1}{t-1}\sum _{s=1}^{t-1}{\epsilon }_{s+1}\right)}^2=\frac{1}{T}\sum _{t=T_R}^{T-1}{\left(\frac{T}{t-1}{W}_T\left(\frac{t-1}{T}\right)\right)}^2\text{\hspace{1em}(17.26)}$$

$${\to }^d{\sigma }_{\epsilon }^2{\int }_{\lambda }^1{u}^{-2}B(u{)}^{2}du;$$

$$\sum _{t=T_R}^{T-1}\left(\frac{1}{t-1}\sum _{s=1}^{t-1}{\epsilon }_{s+1}\right){\epsilon }_{t+1}=\sum _{t=T_R+1}^T\frac{T}{t-1}{W}_T\left(\frac{t-1}{T}\right)\left[W_T\left(\frac{t}{T}\right)-W_T\left(\frac{t-1}{T}\right)\right]$$

$$\stackrel{d}{\to }{\sigma }_{\epsilon }^2{\int }_{\lambda }^1{u}^{-1}B(u)dB(u).\text{\hspace{1em}(17.27)}$$

设 $\begin{array}{r}{\hat{\sigma }}_{\epsilon }^2=(1-\lambda {)}^{-1}{T}^{-1}{\sum }_{t=T_R}^{T-1}(y_{t+1}-{\hat{f}}_{t+1\mid t}{)}^2\end{array}$ 为 ${\sigma }_{\epsilon }^2$ 的一个一致估计量。在原假设 $H_0:\beta =0$ 下，由 (17.27) 式可得

$$\frac{D_T(\lambda )}{{\hat{\sigma }}_{\epsilon }^2}\stackrel{d}{\to }2{\int }_{\lambda }^1{u}^{-1}B(u)dB(u)-{\int }_{\lambda }^1{u}^{-2}B(u{)}^{2}du,\text{\hspace{1em}(17.28)}$$

其中 $B(u)$ 为标准布朗运动。因此，(17.28) 式中的检验统计量收敛于一个布朗运动的积分，不会服从标准正态分布。这是由于参数估计中的递归更新，以及因变量的扰动项与未来参数估计的修正量之间存在相关性所致。

这一从 Hansen and Timmermann (2012) 推导出的简单情形，是 McCracken (2007) 一般结果的特例。McCracken 给出了固定、滚动和扩展估计窗口情形下的临界值表，并涵盖了基线模型向多元回归的推广。使用之前的记号，令 $\pi =T_P/T_R$，$\lambda =T_R/(T_R+T_P)$。表 17.1 列出了一些 McCracken OOS-F 检验的精选临界值，采用 Hansen and Timmermann (2015) 的方法模拟得到，模型为包含两个额外变量的大预测模型的线性回归，对应 95% 和 99% 的临界值。

首先请注意，临界值对样本分割参数 λ 非常敏感：当样本分割比例从约 0.90 降至三分之一时，99% 临界水平下的临界值从约 2 变化到 4。其次，正因如此，这些临界值可能与在 $\pi =0$（即 $\lambda =1$）假设下用于假设检验的常规临界值存在很大差异。在大模型中包含两个额外预测变量的情况下，这些临界值分别为 4.826（对应 $\alpha =0.95$）和 7.910（对应 $\alpha =0.99$）；参见 McCracken (2007, 表 4)。