17.3.1 预测绩效的条件检验

17.3.1 预测表现的条件检验

Giacomini 和 White（2006）引入了基于当前信息 $Z_t$ 的预测精度的条件检验。对于这些检验，(17.20) 中的原假设被修改为

$$E\left[\Delta L_{t+1}({\hat{\beta }}_{1t},{\hat{\beta }}_{2t},y_{t+1})\mid Z_t\right]=0,\text{\hspace{1em}(17.22)}$$

其中 $Z_t=\{z_1,\dots ,z_t\}$ 是时间 $t$ 时可获得的信息集。对于单期预测范围 $h=1$，原假设是损失差关于 $Z_t$ 构成鞅差序列。对于更长的范围，原假设意味着时间 $t$ 可获得的信息与损失之间的差异不相关。

(17.22) 中的假设从经济学角度来看很有意义，因为它允许我们检验某些预测模型在某些经济状态下是否优于其他状态。例如，Henkel、Martin 和 Nardari（2011）发现股票回报在经济衰退期是可预测的，但在经济扩张期则不然。这可以通过让条件信息包含一个衰退指示变量 $1({\text{NBER}}_t=1)$ 来检验，该变量在 NBER 将时期 $t$ 视为衰退时等于 1，否则等于 0，不过 NBER 指标无法实时获得。

为了使 (17.22) 中的条件原假设可操作，我们需要选择一组检验函数 $v_t$，它们是预测时点可获得数据的函数，即 $Z_t$ 的函数。设 $v_t$ 为 $(q\times 1)$ 向量，我们可以使用标准的 GMM 二次型来检验 (17.22) 中的矩约束，

$$\text{GW}(T_P)=T_P{\left(T_P^{-1}\sum _{t=T_R}^{T-1}{v}_t\Delta L_{t+1}\right)}^{\prime }{W}^{-1}\left(T_P^{-1}\sum _{t=T_R}^{T-1}{v}_t\Delta L_{t+1}\right),\text{\hspace{1em}(17.23)}$$

其中 $W$ 是 GMM 问题的最优权重矩阵，$\Delta L_{t+1}=L(f_{1t+1|t}({\hat{\beta }}_{1t}),y_{t+1})-L(f_{2t+1|t}({\hat{\beta }}_{2t}),y_{t+1})$。在相对温和和标准的条件下，Giacomini 和 White 证明该统计量在原假设下具有极限 ${\chi }_q^2$ 分布。

该检验的一个有趣之处在于，滚动回归中窗口长度 $\omega$ 的不同选择会改变检验的内容。原因是如果我们改变窗口长度，我们也会改变 ${\hat{\beta }}_{1t}$、${\hat{\beta }}_{2t}$，从而改变预测序列 $\{f_{1t+1|t}({\hat{\beta }}_{1t}),f_{2t+1|t}({\hat{\beta }}_{2t})\}$ 和原假设。其结果是，对于相同的模型但不同的窗口长度，预测者可能发现检验产生不同的结果。然而，这一性质正是对预测方法（包括估计窗口的选择）进行检验的目的之一，而不是试图了解在参数估计的极限情况下哪个预测模型最优。

当然，使用滚动窗口估计参数时，未能通过 (17.23) 的检验发现某模型的优越表现，并不意味着使用扩展窗口估计参数的同一模型不会产生更好的预测。在这种情况下使用滚动窗口估计器可能会恶化具有较多估计参数的大型模型的性能，从而削弱检验将该模型识别为相对于参数较少的更精简模型具有优越性的能力，即使该大型模型是最优设定。例如，基于 10 年观测值的滚动窗口估计的预测可能导致拒绝大型模型，而使用 20 年观测值的滚动估计窗口时则可能更偏好该大型模型。

17.4 嵌套模型之间预测表现的比较

在比较两个嵌套模型的有限样本表现时，估计误差可能导致大型模型产生精度较低的预测——生成较高的 MSE 值——而小型模型由于需要估计的参数较少。McCracken（2000）提出的检验统计量考虑到了这一点。具体而言，考虑估计误差的检验统计量的分布会随着大型模型需要估计的额外参数数量的增加而进一步向左偏移，并在许多情况下取负值。

这一性质意味着，相等预测精度的检验可能出现的一种结果是偏好一个大型预测模型，即使该模型在特定有限样本中产生的预测精度低于较小的模型。其逻辑在于，尽管大型模型在有限样本中表现不如小型模型，但考虑到大型模型需要估计的额外参数数量，其表现并未像人们预期的那样糟糕。

从对两个模型进行推断的角度来看，这是一个合理的观点。然而，从决定使用哪个模型的预测者的角度来看，在大型模型表现不如较小模型的情况下选择大型模型似乎是有风险的。即使样本证据表明，当有足够的数据以更高精度估计其额外参数时，较大的模型最终会更受青睐，情况也是如此。

已提出两种方法来解决嵌套模型的这些问题。Clark 和 West (2007) 提出的一种方法对检验统计量进行重新中心化，以明确地针对参数估计误差对大模型所产生的较大影响来调整检验。第二种方法则直接关注检验的有限样本表现，由 Giacomini 和 White (2006) 提出。我们首先解释递归参数估计如何导致标准评估检验统计量服从非标准分布，然后介绍这些方法。