17.3 预测方法的比较：Giacomini–White 方法

17.3 预测方法比较：Giacomini-White 方法

Giacomini 和 White（2006）提出了一种根本不同但高度相关的预测方法比较检验方法。他们并不依赖于用参数估计的概率极限替代参数估计的渐近结果——这种方法基本上检验的是在总体中哪个模型更优。相反，Giacomini 和 White（2006）保留了估计误差对预测的影响，并提出两种预测方法是否产生相同质量的预测（根据所选的损失函数），或者是否其中一种方法更优。他们的检验以正在比较的两种方法的一组已观测预测序列为给定条件，并假定模型的参数使用固定长度的滚动窗口进行估计。这保留了估计误差，可以视为对各方法表现的一系列观测。然后可以执行等期望损失的检验以及预测误差相对于预测产生时所有信息的正交性检验。这些检验的分布是在假定观测到的预测序列变得很大的假设下近似得到的。

更正式地，假设有两个模型，在时刻 $t$ 使用固定窗口的 $\omega$ 个观测生成一步向前预测 $f_{1t+1|t}$ 和 $f_{2t+1|t}$。每个预测 $f_{it+1|t}$ 是数据 $(z_t,z_{t-1},\dots ,z_{t-\omega +1})$ 和参数估计 ${\hat{\beta }}_{1t},{\hat{\beta }}_{2t}$ 的函数，简记为 $f_{it+1|t}({\hat{\beta }}_{it}),i=1,2$。根据这些预测，对于 $t=T_R,\dots ,T-1$，我们可以构造损失 $L(f_{it+1}({\hat{\beta }}_{it}),y_{t+1})$。这些损失可用于通过以下原假设比较模型在当前参数 ${\hat{\beta }}_{1t},{\hat{\beta }}_{2t}$ 处的有限样本预测精度：

$$H_0:E\left[L(f_{1t+1|t}({\hat{\beta }}_{1t}),y_{t+1})-L(f_{2t+1|t}({\hat{\beta }}_{2t}),y_{t+1})\right]=0.\text{\hspace{1em}(17.20)}$$

将 (17.20) 中的原假设与 West（1996）及随后许多文献中关于总体参数 ${\beta }_1^{\ast },{\beta }_2^{\ast }$ 处等预测精度的原假设进行对比是有用的：

$$H_0:E\left[L(f_{1t+1|t}({\beta }_1^{\ast }),y_{t+1})-L(f_{2t+1|t}({\beta }_2^{\ast }),y_{t+1})\right]=0.\text{\hspace{1em}(17.21)}$$

Giacomini 和 White（2006) 所检验的 (17.20) 中的原假设与 (17.21) 中的原假设有着根本的不同。关键区别在于，在 (17.20) 中估计误差的影响不会消失，因为它假定了一个固定的估计窗口；而在 (17.21) 中，由于在估计样本变得非常大时在估计量的（概率）极限处评估期望损失，估计误差的影响确实会消失。例如，假设相对于一个更大的无约束模型而言，小模型因遗漏相关预测变量而产生的有限样本偏差恰好与估计误差减小的影响相互抵消。那么，Giacomini 和 White 检验的原假设不应被拒绝。相反，随着估计样本的扩大以及估计误差影响的消失，West 检验的原假设应被拒绝。

相反地，在比较嵌套模型时，相对于如 (17.21) 这样的检验，(17.20) 可以设定一个更高的标准，因为现在要求大模型的表现优于小模型，且优势需大到足以弥补估计误差对大模型预测表现的更大影响。

Giacomini 和 White（2006）证明，在有限估计窗口下，

$$T_P^{-1/2}\sum _{t=T_R}^{T-1}[\Delta L_{t+1}({\hat{\beta }}_{1t},{\hat{\beta }}_{2t},y_{t+1})-E[\Delta L]]\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}(0,{\tilde{S}}_y(0)),$$

其中 $\Delta L_{t+1}({\hat{\beta }}_{1t},{\hat{\beta }}_{2t},y_{t+1})=L(f_{1t+1|t}({\hat{\beta }}_{1t}),y_{t+1})-L(f_{2t+1|t}({\hat{\beta }}_{2t}),y_{t+1})$ 度量差分损失，而方差 ${\tilde{S}}_y(0)$ 由下式给出

$${\tilde{S}}_y(0)=\underset{T_P\to \infty }{\lim }\mathrm{Var}\left(T_P^{-1/2}\sum _{t=T_R}^{T-1}\right[L(f_{1t+1|t}({\hat{\beta }}_{1t}),y_{t+1})-L(f_{2t+1|t}({\hat{\beta }}_{2t}),y_{t+1})-E[\Delta L_{t+1}]\left]\right).$$

请注意，该结果是在 $T_P\to \infty$ 的极限下得到的，但并未假定 $T_R$ 渐近地扩大。因此，Giacomini 和 White（2006）不需要做出诸如 $\hat{\beta }$ 矩阵正定性之类的假设，所以他们的方法既允许嵌套模型的比较也允许非嵌套模型的比较。此外，可以考虑的预测方法类别要广泛得多，不一定必须符合 West（1996) 分析的框架，包括贝叶斯模型、非线性模型和非参数模型，以及基于各种非标准估计量的预测。在每种情况下，重要的是估计误差的影响不会消失，从而 ${\tilde{S}}_y(0)$ 不会变得退化。