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17.1.1 均方误差损失下的包容性检验

17.1.1 均方误差损失下的包络检验

对两个预测下的结果进行简单线性回归，可用于检验均方误差损失下的预测包络性：

$y_{t + 1} = β_{1} f_{1 t + 1∣ t} + β_{2} f_{2 t + 1∣ t} + ε_{1 t + 1} . (17.5)$

若 $β_{1} = 1$ 且 $β_{2} = 0$ ，则第一个预测包络了第二个预测。这一以变量水平形式给出的回归检验为预测组合提供了有用的联系。³ 预测包络发生在一个预测得到权重 1、另一个预测得到权重 0 的情形。例如，如果一个预测仅仅是另一个预测的有噪代理（其中噪声与预测和结果独立），就会出现这种情况。在这种情况下，最优策略是仅依赖单一预测。对于所有其他情况，组合这两个预测可能更优。

Chong 和 Hendry（1986）建议在 (17.5) 中施加 $β_{1} = 1$ ，并在两端减去 $f_{1 t + 1∣ t}$ 后检验 $β_{2} = 0$ ：

$y_{t + 1} - f_{1 t + 1∣ t} = e_{1 t + 1 t} = β_{2} f_{2 t + 1∣ t} + ε_{2 t + 1∣ t} . (17.6)$

更常见的预测包络检验是运行以下回归：

$e_{1 t + 1∣ t} = β (e_{1 t + 1∣ t} - e_{2 t + 1∣ t}) + ε_{3 t + 1∣ t} . (17.7)$

原假设为 $H_{0} : β = 0$ ，对立假设为 $H_{1} : β > 0$ 。在施加 $β_{1} + β_{2} = 1$ 的约束下（包括原假设 $β_{1} = 1$ 且 $β_{2} = 0$ ），水平形式设定 (17.5) 和 (17.7) 是等同的，但在其他情况下会有所不同。

Harvey、Leybourne 和 Newbold（1998）提出了以下样本外检验统计量：

$T_{P}^{1/2} \frac{c ˉ}{S ^{1/2}}, (17.8)$

其中 $S$ 是 $c_{t + 1} = \overset{e}{^}_{1 t + 1} (\overset{e}{^}_{1 t + 1} - \overset{e}{^}_{2 t + 1})$ 长期方差的一致估计量，且 $\overset{c}{ˉ} = T_{P}^{- 1} \sum_{t = T_{R}}^{T - 1} (\overset{e}{^}_{1 t + 1} - \overset{e}{^}_{2 t + 1}) \overset{e}{^}_{1 t + 1}$ 。与上一章一样，我们假设总样本 $T$ 被划分为长度为 $T_{R}$ 的估计样本和评估样本 $T_{P} = T - T_{R}$ 。我们保留误差上的帽子符号，以表明这些误差基于估计得到的预测。对于误差序列不相关且同方差（ $h = 1$ ）的单步向前预测，这即为 Clark 和 McCracken（2001）所称的 ENC-T 检验：

$ENC - T = \frac{( T _{p} - 1 ) ^{1/2} c ˉ}{( T _{p}^{- 1} \sum _{t = T_{R}}^{T - 1} ( c _{t + 1}^{2} - c ˉ ) ^{2} ) ^{1/2}} = \frac{( T _{p} - 1 ) ^{1/2} T _{p}^{- 1} \sum _{t = T_{R}}^{T - 1} ( e ^ _{1 t + 1}^{2} - e ^ _{1 t + 1} e ^ _{2 t + 1} )}{( T _{p}^{- 1} \sum _{t = T_{R}}^{T - 1} ( e ^ _{1 t + 1}^{2} - e ^ _{1 t + 1} e ^ _{2 t + 1} ) ^{2} - c ˉ ^{2} ) ^{1/2}}, (17.9)$

其中分母是 $\overset{c}{ˉ}$ 的通常方差估计量。这是将 $c_{t + 1}$ 对常数进行回归，乘以 $(T_{p} - 1)^{1/2}$ 。注意 $c_{t + 1}$ 是 (17.7) 中回归系数分子中的求和元素，因此 ENC-T 检验的是该回归中 $β = 0$ 的约束。

一种替代的基于回归的检验，称为 ENC-REG 检验，形式如下：

$ENC - REG = \frac{( T _{\overset{p}{ˉ}} - 1 ) ^{1/2} T _{p}^{- 1} \sum _{t = T_{R}}^{T - 1} ( e ^ _{1 t + 1}^{2} - e ^ _{1 t + 1} e ^ _{2 t + 1} )}{( T _{p}^{- 1} \sum _{t = T_{R}}^{T - 1} ( e ^ _{1 t + 1} - e ^ _{2 t + 1} ) ^{2} ( T _{\overset{p}{ˉ}}^{- 1} \sum _{t = T_{R}}^{T - 1} e ^ _{1 t + 1}^{2} ) - c ˉ ^{2} ) ^{1/2}} . (17.10)$

Clark 和 McCracken（2001）针对基于嵌套模型估计所得的预测提出了另一种检验：

$ENC - NEW = \frac{T _{\overset{p}{^}} c ˉ}{( T _{\overset{p}{^}}^{- 1} \sum _{t = T_{R}}^{T - 1} e ^ _{2 t + 1}^{2} )} . (17.11)$

除以 $T_{p}$ 而非 $T_{P} - 1$ 进行缩放外，区别在于通常的方差估计量从 $t$ 统计量的分母中移除，并由（在原假设下）被包络预测的均方误差取代。Clark 和 McCracken 建议，当生成预测的模型参数被估计且模型嵌套时，该检验相较于 $t$ 检验具有更好的性质。

这些检验假定包络预测是无偏的。若此假定不成立，可以对检验进行修正。对于基于回归 (17.5)、(17.6) 和 (17.7) 的检验，可在回归中加入一个常数项。对于统计量 (17.8)，需要对预测误差 $\hat{e}_{1 t + 1}$ 进行调整，使其均值为零（参见 Marcellino，2000）。

在推导这些检验统计量的极限分布时，需要谨慎处理标准误，因为这些统计量是由（数据本身）先前估计的预测模型构造的对象的函数。根据预测的构造方式，这些估计误差未必会随样本量增大而消失。因此，我们可能需要调整标准误，或者对嵌套预测模型采用不同的分布近似。

这些关注点很重要，如果我们有兴趣根据样本统计量对模型相对预测表现得出关于哪个模型最适合数据的结论。然而，如果我们有兴趣检验在特定样本期内哪种预测方法表现最好，那么估计误差只是间接相关，因为它影响模型相对损失的抽样分布。正如我们下面将看到的，这是Diebold和Mariano（1995）以及Giacomini和White（2006）所采用的视角。

许多实证应用假设预测是"给定的"，或被视为原始数据，因此将参数估计误差视为预测的一个基本特征。例如，Chong和Hendry（1986）提到了调整估计预测的潜在需求，但在他们的分析中没有考虑预测中的估计误差。他们主要考虑的应用是检查来自大型复杂模型的预测，对于这些模型，没有可用于解释估计误差的结果。在有结果可用的情况下（例如，West（2001）针对非嵌套检验的结果），如果模型估计所用的样本规模相对于评估样本较大，这种近似仍然是合理的，这一结果源于在大的估计样本中估计误差变得可忽略不计。Harvey、Leybourne和Newbold（1998）假设预测是在没有估计误差的情况下构建的，这产生了具有通常的方差-协方差矩阵的渐近正态结果。他们建议使用学生t分布来构建临界值，正如非正态预测和小样本的常见做法一样。在这种情况下，使用渐近近似所引起的规模扭曲可能相当大。

当模型不是嵌套时，West和McCracken（1998）的结果可能适用于对(17.5)、(17.6)和(17.7)中的回归检验，这些检验针对的是使用滚动回归或固定估计窗口递归构建的预测。预测模型必须满足第16章讨论的West（1996，定理4.1）的要求，基础数据也必须满足。此外，生成两个预测的模型不能是嵌套的，也不能同时嵌套真实模型。在这些条件下，West和McCracken的结果直接适用于(17.8)中的统计量，除了对样本规模缩放的渐近无关的修正外，它对将 $c_{t + 1}$ 对常数回归的系数产生了一个稳健的t检验。West（2001）将这些结果应用于该检验，表明当预测是递归构建时，通常需要对分母进行修正以渐近地达到正确的规模。

在West和McCracken（1998)的条件下，考虑由非嵌套回归模型构建的预测，

$y_{t + 1} = β_{1} x_{1 t} + e_{1 t + 1}, y_{t + 1} = β_{2} x_{2 t} + e_{2 t + 1},$

因此预测为 $\hat{β}_{i} x_{i t}$ （ $i = 1, 2$ ），参数使用固定、滚动或递归扩展窗口进行估计，评估样本从第 $T_{R} + 1$ 个观测开始，所以有 $T_{R}$ 个观测可用于初始估计， $T_{P}$ 个观测可用于评估。

West和McCracken（1998）的结果应用于West（2001）中的问题表明，

$T_{P} (\overset{c}{ˉ} - E (c_{t + 1})) \to^{d} N (0, S + π D V_{β} D^{'}),$

其中 $D = [E (e_{1 t + 1} x_{2 t}), E (e_{2 t + 1} x_{1 t})]$ ， $e_{i t + 1}$ 是第 $i$ 个模型的预测误差， $π = T_{P} / T_{R}$ ， $V_{β}$ 是 $(\hat{β}_{1}, \hat{β}_{2})^{'}$ 的方差-协方差矩阵。这可以通过从样本类似量 $\hat{D} = [T_{P}^{- 1} \sum \overset{e}{^}_{2 t + 1} x_{1 t}, T_{P}^{- 1} \sum \overset{e}{^}_{1 t + 1} x_{2 t}]$ 估计 $D$ 来付诸实施，其中求和是在评估样本上进行的； $\overset{ˉ}{V}_{β}$ 可以以通常的方式估计，将两个单变量预测模型视为一个系统。

如果评估样本相对于估计样本较小（比如10%或更少）且预测是递归生成的，那么规模扭曲通常不大。然而，当这个比率接近0.5时，估计误差对检验规模的影响就不能忽略了。

Clark和McCracken（2001，2005a）以及Clark和West（2007）的蒙特卡洛模拟表明，当预测范围仅覆盖单个时期（ $h = 1$ ）时，这些检验通常具有正确的规模和合理的功效。相反，对于多期预测（ $h > 1$ ），这些检验往往是过度的。对于这种情况，同一研究报告的模拟发现，自助法方法（如固定回归量自助法）似乎效果相当好。

当我们从嵌套线性回归构建竞争预测并考虑由于估计用于构建预测的基础回归参数而产生的抽样误差时，分布不再是渐近正态的。Clark和McCracken（2001）提供了ENC-T、ENC-REG和ENC-NEW检验的渐近分布理论和临界值表，前提是在整个评估样本中使用递归方案更新基础预测模型的参数。

练习题

在均方误差（MSE）损失下预测涵盖的简单线性回归中，第一个预测要涵盖第二个预测需满足什么条件？

β_{1} = 0

且

β_{2} = 1

β_{1} = 1

且

β_{2} = 0

β_{1} = 0.5

且

β_{2} = 0.5

β_{1} = - 1

且

β_{2} = 1

在常见的预测包含回归检验 $e_{1 t + 1∣ t} = β (e_{1 t + 1∣ t} - e_{2 t + 1∣ t}) + ε_{3 t + 1∣ t}$ 中，原假设是什么？

H_{0} : β = 1

H_{0} : β = - 1

H_{0} : β = 0

H_{0} : β > 0

以下哪些是Harvey、Leybourne和Newbold的样本外检验统计量 $T_{P}^{1/2} \frac{c ˉ}{S ^{1/2}}$ 的组成部分？

T_{P}

，评估样本的长度

\overset{c}{ˉ}

，某种误差组合的样本均值

S

，

c_{t + 1}

长期方差的一致估计量

D. 预测涵盖的简单线性回归中的

β_{1}

和

β_{2}

\overset{e}{^}_{1}

和

\overset{e}{^}_{2}

，估计的预测误差

在ENC - T检验中，如果误差是序列不相关且同方差的（ $h = 1$ ），检验统计量具有Clark和McCracken给出的特定形式。

在Chong和Hendry的预测包含性检验中，在 $y_{t + 1} = β_{1} f_{1 t + 1∣ t} + β_{2} f_{2 t + 1∣ t} + ε_{1 t + 1}$ 中设定 $β_{1} = 1$ ，并从等式两边减去 $f_{1 t + 1∣ t}$ 后，得到的回归方程为 $y_{t + 1} - f_{1 t + 1∣ t} = e_{1 t + 1 t} = β_{2} f_{2 t + 1∣ t} + ε_{2 t + 1∣ t}$ 。变量 $e_{1 t + 1 t}$ 表示___。

解释在均方误差（MSE）损失下，简单线性回归预测涵盖中条件 $β_{1} = 1$ 且 $β_{2} = 0$ 的意义。

ENC - REG检验统计量的分母是什么？

(T_{p}^{- 1} \sum_{t = T_{R}}^{T - 1} (\overset{e}{^}_{1 t + 1} - \overset{e}{^}_{2 t + 1})^{2} (T_{\overset{p}{ˉ}}^{- 1} \sum_{t = T_{R}}^{T - 1} \overset{e}{^}_{1 t + 1}^{2}) - \overset{c}{ˉ}^{2})^{1/2}

(T_{p}^{- 1} \sum_{t = T_{R}}^{T - 1} (c_{t + 1}^{2} - \overset{c}{ˉ})^{2})^{1/2}

(T_{p}^{- 1} \sum_{t = T_{R}}^{T - 1} (\overset{e}{^}_{1 t + 1}^{2} - \overset{e}{^}_{1 t + 1} \overset{e}{^}_{2 t + 1})^{2} - \overset{c}{ˉ}^{2})^{1/2}

S^{1/2}

当预测基于非嵌套模型的估计值时，使用ENC - NEW检验。

当无偏涵盖预测的假设不成立时，对于基于回归方程（17.5）、（17.6）和（17.7）的检验，可以在回归方程中添加一个___。

估计误差如何影响预测涵盖检验统计量的极限分布推导？

以下哪些知识点与比较预测方法预测准确性的概念相关？（选择所有适用的选项）

A. kp_17_1_1_1（均方误差损失下预测涵盖的简单线性回归）

B. kp_16_6_009（比较预测方法预测准确性的结果）

C. kp_17_1_1_3（常见预测涵盖回归检验）

D. kp_16_6_003（多个预测的比较）

E. kp_17_1_1_7（克拉克和麦克拉肯的ENC-NEW检验）

在预测涵盖的情境下，如果一个预测在均方误差（MSE）损失下涵盖另一个预测，这意味着什么？（结合kp_17_1_1_1和kp_17_1_007中的知识）

A. 被涵盖预测的均方误差（MSE）低于涵盖预测的均方误差（MSE）。

B. 涵盖预测的均方误差（MSE）低于被涵盖预测的均方误差（MSE），且被涵盖预测的预期损失超过涵盖预测的预期损失。

C. 两个预测的均方误差（MSE）相同。

D. 两个预测的均方误差（MSE）之间的关系不确定。

以下哪项正确描述了共同预测涵盖回归检验的原假设？回归方程为 $e_{1 t + 1∣ t} = β (e_{1 t + 1∣ t} - e_{2 t + 1∣ t}) + ε_{3 t + 1∣ t}$ 。

H_{0} : β = 1

H_{0} : β = 0

H_{0} : β > 0

H_{0} : β < 0

以下关于克拉克（Clark）和麦克拉肯（McCracken）提出的ENC-T检验的陈述中，哪些是正确的？选择所有适用的选项。

A. 它用于对具有序列不相关且同方差误差的一步超前预测进行检验。

B. 检验统计量由

T_{P}^{1/2} \frac{c ˉ}{S ^{1/2}}

给出。

C. 原假设为

H_{0} : β = 0

，回归方程为

e_{1 t + 1∣ t} = β (e_{1 t + 1∣ t} - e_{2 t + 1∣ t}) + ε_{3 t + 1∣ t}

。

D. 在某些限制条件下，ENC-T检验与哈维、莱伯恩和纽博尔德的样本外检验统计量相同。

Chong和Hendry的预测包含性检验涉及在回归方程 $y_{t + 1} = β_{1} f_{1 t + 1∣ t} + β_{2} f_{2 t + 1∣ t} + ε_{1 t + 1}$ 中设定 $β_{1} = 1$ ，并检验 $β_{2} = 0$ 。

克拉克（Clark）和麦克拉肯（McCracken）提出的ENC-REG检验是一种基于回归的替代检验，其形式为 $ENC - REG = \frac{( T _{\overset{p}{ˉ}} - 1 ) ^{1/2} T _{p}^{- 1} \sum _{t = T_{R}}^{T - 1} ( e ^ _{1 t + 1}^{2} - e ^ _{1 t + 1} e ^ _{2 t + 1} )}{( T _{p}^{- 1} \sum _{t = T_{R}}^{T - 1} ( e ^ _{1 t + 1} - e ^ _{2 t + 1} ) ^{2} ( T _{\overset{p}{ˉ}}^{- 1} \sum _{t = T_{R}}^{T - 1} e ^ _{1 t + 1}^{2} ) - c ˉ ^{2} ) ^{1/2}}$ 。该检验统计量的分子与回归___中的回归系数相关。

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17.1.1 均方误差损失下的包容性检验

17.1.1 均方误差损失下的包络检验

练习题

在均方误差（MSE）损失下预测涵盖的简单线性回归中，第一个预测要涵盖第二个预测需满足什么条件？

在常见的预测包含回归检验e1t+1∣t​=β(e1t+1∣t​−e2t+1∣t​)+ε3t+1∣t​中，原假设是什么？

以下哪些是Harvey、Leybourne和Newbold的样本外检验统计量TP1/2​S1/2cˉ​的组成部分？

在ENC - T检验中，如果误差是序列不相关且同方差的（h=1），检验统计量具有Clark和McCracken给出的特定形式。

在Chong和Hendry的预测包含性检验中，在yt+1​=β1​f1t+1∣t​+β2​f2t+1∣t​+ε1t+1​中设定β1​=1，并从等式两边减去f1t+1∣t​后，得到的回归方程为yt+1​−f1t+1∣t​=e1t+1t​=β2​f2t+1∣t​+ε2t+1∣t​。变量e1t+1t​表示___。

解释在均方误差（MSE）损失下，简单线性回归预测涵盖中条件β1​=1且β2​=0的意义。