17.1 预测包含检验

17.1 预测包络检验

包络的一般理念与以下观念相关：某个模型不仅能完全解释另一个模型所能解释的内容，还能对某些现象提供额外的解释。在预测情境下，预测包络的概念类似于第15章中效率回归所讨论的正交性概念，唯一的区别在于现在的附加信息由其他预测方法的预测或预测误差构成。如果某个附加预测包含与预测结果相关且原始预测中尚未包含的信息，那么该预测将以非零权重进入正交回归。在这种情况下，原始预测并未包含所有相关信息。反之，如果正交性成立，则称原始预测"包络"了另一个预测，因为它包含了另一个预测所体现的所有相关信息。

对于两个竞争性预测，在一般损失下，$f_{1t+1|t}$ 包络 $f_{2t+1|t}$ 的条件可表述为

$$E\left[L(f_{1t+1|t},y_{t+1})\right]\le \underset{g(\cdot )}{\min }E\left[L\left(g\right(f_{1t+1|t},f_{2t+1|t}),y_{t+1})\right].\text{\hspace{1em}(17.3)}$$

如果(17.3)成立，则第一个预测相对于预测对 $(f_{1t+1|t},f_{2t+1|t})$ 是"充分的"，因为在获得第一个预测之后，第二个预测中不再存在有用的信息。

注意，预测包络依赖于损失函数 $L$。因此，我们完全有可能发现预测 $f_{1t+1|t}$ 在某个损失函数 $L_1$ 下包络 $f_{2t+1|t}$，但在另一个损失函数 $L_2\ne L_1$ 下则不然。

Chong and Hendry (1986) 考察了 MSE 损失下的预测包络。对于这种情况，(17.3)简化为

$$E\left[(y_{t+1|t}-f_{1t+1|t}{)}^2\right]=\underset{g(\cdot )}{\min }E\left[(y_{t+1|t}-g(f_{1t+1|t},f_{2t+1|t}){)}^2\right].\text{\hspace{1em}(17.4)}$$

在预测包络的零假设下，可知被包络预测的期望损失超过包络它的预测所对应的期望损失。这意味着，如果 $f_{1t+1|t}$ 包络 $f_{2t+1|t}$，则 $f_{1t+1|t}$ 的 MSE 小于 $f_{2t+1|t}$ 的 MSE。如果 $f_{2t+1|t}$ 的 MSE 小于 $f_{1t+1|t}$ 的 MSE，则显然 $\begin{array}{r}E(y_{t+1}-f_{1t+1|t}{)}^2>E(y_{t+1}-f_{2t+1|t}{)}^2\ge {\min }_{g(\cdot )}E(y_{t+1}-\end{array}$ $g(f_{1t+1|t},f_{2t+1|t}){)}^2$，因此 $f_{1t+1|t}$ 不可能包络 $f_{2t+1|t}$。在备择假设下，两个预测都是有用的，因此结合两个预测将优于使用单一预测。