16.5 汇总预测与分解预测的评价

16.5 总体预测与个体预测的评价

在许多情况下，来自各个预测模型或调查会产生大量预测。预测者面临的选择是：要么将模型和推断建立在个体预测之上，要么使用某种预测的总体共识度量。通常，将分析限制在总体预测上的唯一原因是无法获得个体预测，因为某些机构仅报告预测的截面平均值。

为分析这种情况，假设可以获得个体预测的数据，记为 $f_{i,t+h|t}$，其中 $i=1,\dots ,m$。个体预测误差记为 $e_{i,t+h|t}$，这些误差在不同预测者之间通常不同。个体预测可以在如下面板回归模型中联合检验：

$$e_{i,t+h|t}=z_{it}^{\prime }{\beta }_i+u_{it+h},\text{\hspace{1em}(16.21)}$$

其中 $i=1,\dots ,m$，$t=1,\dots ,T-h$。作为一个出发点，假设各预测者的系数不同。在平方误差损失下的合理性检验涉及原假设 $H_0:{\beta }_i=0$，$i=1,\dots ,m$。可以检验多种备择假设，以反映对合理性的各种偏离。例如，预测者的一个子集可能偏离合理性，此时备择假设为 $H_1:{\beta }_i\ne 0,i\in I$，其中 $I$ 是非理性预测者的子集。如果所有预测者以相同方式偏离合理性，则有 ${\beta }_i=\beta \ne 0$。或者，我们可以通过研究 ${\beta }_i$ 系数来分别检验每个预测者的合理性。此外，我们还可以通过运行固定效应回归来分别检验偏差性和正交性，其中固定效应为个体效应。

(16.21)式中的回归产生了一个似乎不相关回归（SUR）问题，因为误差项 $u_{it+h}$ 很可能是相关的，其原因是 $y_{t+h}$ 在各预测者之间是相同的，这会在 $u_{it+h}$ 中引起截面相依性。各个体回归可以堆叠为如下系统：

$$e_{t+h|t}=\left(\begin{array}{c}{e}_{1,t+h|t}\\ e_{2,t+h|t}\\ ⋮\\ e_{m,t+h|t}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{z}_{1t}& 0& \cdots & 0\\ 0& z_{2t}& 0& 0\\ ⋮& 0& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& z_{mt}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\beta }_1\\ {\beta }_2\\ ⋮\\ {\beta }_m\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{u}_{1,t+h}\\ u_{2,t+h}\\ ⋮\\ u_{m,t+h}\end{array}\right)$$ $$=Z_t\beta +u_{t+h},\text{\hspace{1em}(16.22)}$$

其中 $u_{t+h}=[u_{1,t+h},\dots ,u_{m,t+h}{]}^{\prime }$。在预测误差不存在 $z_{it}$ 中已包含的序列相关之外的序列相关的假设下，$\beta$ 的 SUR 估计量为

$${\hat{\beta }}_{\mathrm{SUR}}={\left(\sum _t{Z}_t{\Omega }_c{Z}_t^{\prime }\right)}^{-1}\left(\sum _t{Z}_t{\Omega }_c{e}_{t+h}\right),$$

其中 ${\Omega }_c=E[u_{t+h}{u}_{t+h}^{\prime }]$。在实际应用中，可以将方差初始设为单位矩阵，然后将 ${\Omega }_c$ 直接估计为回归残差的协方差矩阵。一些学者基于对协方差矩阵形式的假设，提出了更精细的方案。例如，由于 $e_{t+h|t}$ 的变化（源自共同成分 $y_{t+h}$ 的变化）所导致的回归残差可能具有共同成分。这提示我们将残差建模为 $u_{it+h}=c_{t+h}+v_{it+h}$，因此

$$E[u_{it+h}{u}_{jt+h}]=E[c_{t+h}^2]+E[v_{it+h}{v}_{jt+h}].$$

第二项在 $i\ne j$ 时可设为 0，在 $i=j$ 时对每个 $i=1,\dots ,m$ 设为 ${\sigma }_i^2$，故 ${\Omega }_c$ 取如下形式：

$${\Omega }_c={\sigma }_c^2\iota {\iota }^{\prime }+\left(\begin{array}{cccc}{\sigma }_1^2& 0& \cdots & 0\\ 0& {\sigma }_2^2& 0& 0\\ ⋮& 0& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& {\sigma }_m^2\end{array}\right),\text{\hspace{1em}(16.23)}$$

其中 $\iota$ 是一个 $(m\times 1)$ 的全为 1 的向量。该矩阵的估计可以先从每个个体回归中获得 OLS 残差，然后从这些 OLS 残差中估计 (16.23) 式中的受约束参数。

该分析还可以通过为每个个体和每个时期堆叠不同预测期的预测误差来进一步扩展。这一扩展在 Davies 和 Lahiri（1995）中进行了讨论。可以对方差-协方差矩阵的结构作进一步的假设，并利用这些假设获得更好的估计。

在许多情况下，并未报告个体预测的数据，而样本均值 ${\bar{f}}_t=m^{-1}{\sum }_{i=1}^m{f}_{it}$ 是可用于预测评价的唯一数据。对 (16.21) 式进行截面平均，我们得到

$$\begin{array}{l}{\bar{e}}_{t+h|t}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{e}_{it+h|t}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{z}_{it}^{\prime }{\beta }_i+\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{u}_{it+h}\\ =\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{z}_{it}^{\prime }{\beta }_i+{\bar{u}}_{t+h}.\end{array}\text{\hspace{1em}(16.24)}$$

如果各 ${\beta }_i$ 系数之间存在异质性，(16.24) 式中的加权估计将与对平均数据进行回归所得结果不同，

$${\bar{e}}_{t+h|t}=\left(\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{z}_{it}^{\prime }\right)\beta +{\tilde{u}}_{t+h}.\text{\hspace{1em}(16.25)}$$

在预测理性原假设（${\beta }_1=\cdots ={\beta }_m=0$）下，这不会引起任何问题。然而，除非所有偏离理性的方向都一致，否则 (16.24) 式和 (16.25) 式的回归结果不太可能完全相同。

对平均数据所建立的结果进行解释时，与对个体结果进行解释一样，都需要谨慎。首先，未能拒绝预测理性原假设，并不意味着每项个体预测都是理性的。(16.24) 式和 (16.25) 式中的平均回归参数对于个体参数的加权平均是一致的，因此即使各组成部分不为零，该加权平均也可能为零。研究人员理解这一点，并将平均预测视为对共识预测的估计，因此该检验实际上检验的是共识预测是否具有理性，从而克服了这一问题。

还可以对总体结果和个体结果进行比较。如果拒绝了针对个体预测的预测理性假设，但未拒绝针对总体预测的假设，这可能表明汇总数据的检验功效不足，或者仅仅表明平均系数较小，尽管个体系数可能偏离零。如果对平均预测拒绝了假设而对个体预测未拒绝假设，这也可能源于检验功效的差异。如果预测中存在大量个体异质性，使得各 $u_{it}$ 项的波动很大，则个体检验的功效可能较低。然而，这种波动可能相互抵消，因此基于平均数据的检验功效可能更高。