16.4 理性检验的样本外渐近理论

16.4 理性检验的样本外渐近理论

West 和 McCracken（1998）发展了渐近结果，便于对如下形式的回归进行推断：

$$e_{t+h|t}({\hat{\mathbf{\beta }}}_t)=\gamma v_t({\hat{\mathbf{\beta }}}_t)+u_{t+h},\text{\hspace{1em}(16.17)}$$

其中，右侧和左侧变量都可以依赖于来自预测模型的参数估计序列 ${\hat{\mathbf{\beta }}}_t$。此类回归的例子包括第15章中讨论的许多偏差和正交回归。例如，$e_{t+h|t}({\hat{\mathbf{\beta }}}_t)$ 可以是每期求值的损失函数的一阶导数，其中预测依赖于估计参数 ${\hat{\mathbf{\beta }}}_t$。在此类回归中，$v_t({\hat{\beta }}_t)$ 可以是滞后的预测误差（例如在弱外生性检验中），它也依赖于估计的模型参数。(16.17)中的设定具有一般性，允许右侧或左侧变量独立于 ${\hat{\mathbf{\beta }}}_t$。对于参数 ${\hat{\mathbf{\beta }}}_t$ 在整个样本上只估计一次的样本内回归，我们知道当 $v_t$ 独立于 $\beta$ 时标准方法适用。在这种情况下，当回归量 $v_t(\beta )$ 是估计参数的函数时，通常必须对标准误进行修正；这被称为生成回归量问题；参见 Pagan（1984）。

West 和 McCracken（1998）通过明确考虑预测是如何生成的，以及这如何影响对回归(16.17)中 $\hat{\gamma }$ 的推断，将标准结果扩展到预测问题中。我们将使用符号 $e_{t+h|t}$ 表示因变量，因为在大多数应用中，因变量是预测误差。然而，$e_{t+h|t}$ 的定义可以扩展到包含预测误差的其他函数。West 和 McCracken（1998，定理 4.1）给出了对一般回归函数和多步预测情形的结论。我们下面列出该结果的基本假设。

1. 变量 $e_{t+h|t}(\beta )$ 和 $v_t(\beta )$ 在 ${\beta }^{\ast }$ 的一个邻域内是可测的且二次可微的。此外，$E\left[e_{t+h|t}({\beta }^{\ast })v_t({\beta }^{\ast })\right]=0$；$E\left[e_{t+h|t}({\beta }^{\ast })\partial e_{t+h|t}({\beta }^{\ast })/\partial {\beta }^{\ast }\right]=0$；$E\left[e_{t+h|t}({\beta }^{\ast })\partial v_t({\beta }^{\ast })/\partial {\beta }^{\ast }\right]=0$；并且 $E\left[v_t(\beta )v_t(\beta {)}^{\prime }\right]$ 具有满秩 k。

2. 估计量 ${\hat{\mathbf{\beta }}}_t$ 具有满秩的矩型估计量形式：${\hat{\beta }}_t-{\beta }^{\ast }=B(t)G(t)$，其中 $B(t)$ 为 $k\times q$ 矩阵，$G(t)$ 为 $q\times 1$ 向量，$B(t{)}^{\mathrm{as}}B$，$B$ 的秩为 $k$；在递归估计下 $G(t)=t^{-1}\sum g_s({\beta }^{\ast })$ 且 $E\left[g_s({\beta }^{\ast })\right]=0$。

3. 二阶导数 $\left|{\partial }^2{e}_{t+h|t}(\beta )/\partial \beta \partial {\beta }^{\prime }\right|$ 是有界的。

4. 定义

$$w_t=((\partial {\dot{e}}_{t+h|t}(\beta )/\partial \beta {)}^{\prime },\mathrm{vec}(\dot{\partial }{v}_t(\beta )/\partial \beta {)}^{\prime },e_{t+h|t}(\beta {)}^{\prime },v_t(\beta {)}^{\prime },g_t^{\prime }{)}^{\prime }$$

此外，$\begin{array}{r}{S}_c(0)={\sum }_{i=-\infty }^{\infty }\Gamma (j)\end{array}$ 是正定的，其中

$\Gamma (j)=E\left[c_{t+h|t}({\beta }^{\ast })c_{t-j+h|t-j}^{{}^{\prime }}({\beta }^{\ast }{)}^{\prime }\right]$ 且 $c_{t+h|t}(\beta )=e_{t+h|t}(\beta )v_t(\beta )$

5. 我们有 $T_P,T_R\infty$ 且 $T_P/T_R\to \pi$，其中 $(\mathtt{a})$ 在扩展估计窗口下 $0\le \pi \le \infty$；$(♭)$ 在滚动窗口和固定窗口下 $0\le \pi <\infty$。

在这些假设下，West 和 McCracken 证明了

$$T^{1/2}\hat{\gamma }{\to }^d\mathrm{N}(0,V),$$

其中

$$V=E[X_t{X}_t^{\prime }]\Omega E[X_t{X}_t^{\prime }],$$

$$\Omega =S_c(0)+{\lambda }_{cg}(FB{S}_{cg}^{\prime }(0)+S_{cg}(0)B^{\prime }{F}^{\prime })+{\lambda }_{gg}F{V}_{\beta }{F}^{\prime }.$$

该结果相当一般，这解释了符号的繁复性。定理使用的符号为

$$\begin{array}{c}F=E\partial c_{t+h\mid t}(\beta )/\partial \beta ,\\ \\ {\Gamma }_{cg}(j)=E\left[c_{t+h\mid t}({\beta }^{\ast })g_{t-j}^{\prime }\right],\end{array}$$

因此

$$S_{cg}(0)=\sum _{j=-\infty }^{\infty }{\Gamma }_{cg}(j),{\Gamma }_{gg}(j)=E\left[g_t{g}_{t-j}^{\prime }\right],$$

$$S_{gg}(0)=\sum _{j=-\infty }^{\infty }{\Gamma }_{gg}(j),V_{\beta }=B{S}_{gg}(0)B^{\prime }.$$

$\left({\lambda }_{cg},{\lambda }_{gg}\right)$ 的定义取决于构造预测所使用的方法：

$$\begin{array}{rlrc}& \frac{\text{估计窗口}}{\text{扩展窗口}}& 1-\ln (1+\pi )/\pi & 2(1-\ln (1+\pi )/\pi )\\ & \text{滚动窗口}\left(\pi \le 1\right)& \pi /2& \pi -{\pi }^2/3\\ & \text{固定窗口}& 0& \pi \end{array}$$

对形如 (16.17) 的回归进行推断通常假设系数估计 $\hat{\gamma }$ 渐近正态，并使用稳健标准误方法构建假设检验。这是一种有效的方法，前提是 $\Omega =S_y(0)$——一种仅适用于特殊情况的情形。更一般地，必须根据 (16.19) 对方差-协方差矩阵进行修正。

可以使用通常标准误的主要情形是当预测由递归估计方案生成且正交性回归（如 (16.17)）的残差在条件上具有同方差性时。假设使用扩展估计窗口，可以证明 $S_c(0)=-FB{S}_{cg}^{\prime }(0)=$ $-S_{cg}(0)B^{\prime }{F}^{\prime }=F{V}_{\gamma }{F}^{\prime }$，并且 (16.19) 的第二项和第三项之和为 0，因为 ${\lambda }_{cg}={\lambda }_{gg}/2$。对于滚动窗口估计方案，这些项之和为 $-{\pi }^2/3$，因此方差-协方差矩阵为 $(1-{\pi }^2/3)S_c(0)$。对于这种情况，基于 $S_c(0)$ 的常规检验将使用过大的方差-协方差矩阵，因此检验将偏小。对于该模型的固定窗口，情况相反，导致检验偏大。对所有模型而言，如果 $\pi =T_P/T_R=0$，即渐近地用于预测评估的样本比例 $\left(T_P\right)$ 被用于构建初始模型估计的样本 $\left(T_R\right)$ 所淹没，则常规推断方法适用，因为估计误差的影响消失。

至于作为这些结果基础的 West (1996) 中的结果，有大量假设限制了 (16.18) 和 (16.19) 中结果的适用性。预测模型参数的相应函数必须在 $\beta$ 处二阶可微。这排除了某些损失函数，但对于 MSE 损失下的正交性回归，(16.17) 的左侧变为预测误差，其关于预测是线性的，因此该条件仅限制了预测模型本身的形式。第二个假设与 West (1996) 中的相同，将注意力限制于最小二乘类型（包括 GMM）的预测模型，但排除了许多收缩估计量以及贝叶斯、半参数和非参数估计量。第三和第四个假设要求数据满足矩条件和相依条件，这排除了数据中的许多非平稳性。

假设 (1) 要求 $\gamma$ 的总体值为 0，这解释了定理中 $\hat{\gamma }$ 未进行中心化处理的原因。这意味着该结果仅在零假设 $\gamma =0$（即工具变量 $v_t$ 在预测 $e_{t+h|t}$ 时没有用处）下构建。这是正交性检验中零假设的标准形式。在备择假设下没有可用的结果。

对于更复杂的损失函数和替代预测技术，几乎没有可用的结果。一种常见的方法是简单地忽略由预测构造方式引起的变异性。然而，上述理论结果表明这不一定是一个合适的做法。尽管如此，West 和 McCracken (1998) 的结果允许我们为常用的样本外平均损失估计构建置信区间。