16.2.3 固定比例估计窗口

16.2.3 固定比例估计窗口

与使用固定长度窗口来估计预测模型参数不同，可以使用固定比例的数据进行估计。例如，可以使用最近 50% 的数据来估计参数。这种方法的优点在于，随着样本量的增长，用于参数估计的观测数量也会增加，从而减弱参数估计误差的影响。这种情况下的数据权重形式为

\omega ( s , t ) = \left\{ { \begin{array} { l l } { 1 , } & { ( 1 - \lambda ) t + 1 \leq s \leq t , } \\ { 0 } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } . } \end{array} } \tag{16.11}

与滚动（固定）窗口方法类似，此方法仅依赖一个参数，即 λ 的值，也就是用于估计的数据样本的比例。该方法在应用研究中的使用不如滚动窗口方法广泛，但有时用于分析研究中，以表征各种检验统计量的抽样分布。

16.2.4 固定估计窗口

固定窗口估计方法仅使用最初的前 ${\bar{\omega }}_0$ 个观测，一劳永逸地估计用于生成所有后续预测的预测模型参数。可用于重新估计预测模型参数的较新数据被忽略，而是无限期地使用相同的参数。固定窗口权重可以写成

$$\omega (s,t)=\{\begin{array}{ll}1,& 1\le s\le {\bar{\omega }}_0,\\ 0& \mathrm{otherwise}.\end{array}\text{\hspace{1em}(16.12)}$$

对于线性回归模型，固定窗口回归系数的形式为

$${\hat{\mathbf{\beta }}}_t=\left(\sum _{s=1}^{{\bar{\omega }}_0}{x}_{s-1}{x}_{s-1}^{\prime }{)}^{-1}\right(\sum _{s=1}^{{\bar{\omega }}_0}{x}_{s-1}{y}_s).$$

当估计成本非常高昂，且用新数据重新估计模型在实际操作中代价过高或不可行时，通常采用这种方法。图 16.3 展示了这种情况。

16.2.5 指数递减权重

在模型不稳定的情况下，通常使用权重对过去的观测进行折扣，权重随着数据越久远而越小。一种简单的实现方案是使用

图 16.3：固定估计窗口下的估计样本。

如下形式的指数递减权重：

$$\omega (s,t)=\{\begin{array}{ll}{\lambda }^{t-s},& 1\le s\le t,\\ 0& \mathrm{otherwise},\end{array}\text{\hspace{1em}(16.13)}$$

其中 $0<\lambda <1$。请注意，最近的观测获得权重 ${\lambda }^0=1$，前一个数据点获得权重 $\lambda$，两个时期前的数据权重为 ${\lambda }^2$，以此类推。

由于折扣因子 $\lambda$ 对过去的观测赋予了较低的权重，该方法有时被称为折扣最小二乘法。