16.2.1 扩展估计窗口

16.2.1 扩展估计窗口

扩展或递归估计窗口对从样本开始到预测点 $s=1,\dots ,t$ 的所有观测赋予相同权重，以估计预测模型的参数。在下一期，使用相同的信息加上额外的观测值 $z_{t+1}=z_t\cup \{y_{t+1},x_{t+1}\}$ 来更新模型参数并生成新的预测。对于这种情况，方程 (16.7) 中的权重取以下形式：

$$\omega (s,t)=\{\begin{array}{ll}1,& 1\le s\le t,\\ 0& \mathrm{otherwise}.\end{array}\text{\hspace{1em}(16.8)}$$

对于线性回归，递归系数估计可简化为

$${\hat{\beta }}_t=\left(\sum _{s=1}^t{x}_{s-1}{x}_{s-1}^{\prime }{)}^{-1}\right(\sum _{s=1}^t{x}_{s-1}{y}_s).\text{\hspace{1em}(16.9)}$$

图 16.1：扩展估计窗口下的估计样本。

随着时间推移，估计样本不断增大，$Z_t\subseteq Z_{t+1}$，因此扩展窗口方法模拟了许多预测者在实践中可能采取的做法。图 16.1 说明了这种情况。

在参数不发生变化的平稳环境中，扩展窗口方法能够有效利用数据，并得到一致的参数估计。相反，在模型参数可能变化的非平稳环境中，该方法会导致有偏的预测。然而，由于该方法利用了所有可用数据，从而减小了估计误差对预测的影响，因此其表现仍然难以超越。在实际应用中，除非模型参数的变化非常大，否则产生相对较小的参数估计误差通常比对（平方）偏差进行修正的效果更为显著。参见 Pesaran 和 Timmermann (2007) 对该问题的分析。

16.2.2 滚动估计窗口

滚动估计窗口是指使用最近 $\bar{\omega }$ 个观测的等权重窗口来估计预测模型参数的做法。例如，要在时刻 $t>\bar{\omega }$ 时生成对 $y_{t+1}$ 的预测，使用数据 $(y_s,x_{s-1}),s=t-\bar{\omega }+1,...,t$ 进行参数估计。随着时间推移和新观测值的出现，较旧的观测被剔除，使得用于参数估计的样本量保持恒定为 $\bar{\omega }$。因此，在时刻 $t+1$，时刻 $t-\bar{\omega }+1$ 的观测被剔除，同时新增时刻 $t+1$ 的数据点，从而使用更新后的数据集 $\{y_s,x_{s-1}\},s=t-\bar{\omega }+2,\text{ – },t+1$ 来生成对 $y_{t+2}$ 的预测。(16.7) 式中的滚动窗口权重是矩形的，

图 16.2：滚动估计窗口下的估计样本。

并取以下形式：

$$\omega (s,t)=\{\begin{array}{ll}1,& t-\bar{\omega }+1\le s\le t,\\ 0& \mathrm{otherwise}.\end{array}\text{\hspace{1em}(16.10)}$$

对于线性回归模型，这给出系数估计为：

$${\hat{\beta }}_t={\left(\sum _{s=t-\bar{\omega }+1}^t{x}_{s-1}{x}_{s-1}^{\prime }\right)}^{-1}\left(\sum _{s=t-\bar{\omega }+1}^t{x}_{s-1}{y}_s\right).$$

图 16.2 说明了这种情况。

滚动窗口估计方法需要选择一个参数，即估计窗口的长度 $\bar{\omega }$。通常，对于月度或季度数据，该参数被设定为某个固定值，例如 5 年、10 年或 20 年的观测值。此外，也可以使用交叉验证方法来对 $\bar{\omega }$ 的取值进行优化，但这种方法很少被采用。

当预测者并不确信底层数据生成过程（DGP）是平稳的，因而不想让模型预测过多地"受到"那些可能已不相关的旧数据的影响时，通常会采用滚动窗口方法。然而，剔除过去数据的做法是以参数估计波动性大于扩展窗口方案为代价的，因此对于滚动窗口方法而言，参数估计误差通常是一个更为突出的问题。此外，目前尚无法写出一个使滚动窗口估计为最优的通用数据生成过程，这使得我们在决定何时以及是否使用该方法（相对于其他用于处理非平稳性的方法）时面临复杂性。