16.2 样本外预测的模拟

16.2 模拟样本外预测

假设预测 $f_{t+h|t}$ 基于模型估计 $\hat{f}(x_t,{\hat{\beta }}_t)$，那么作为预测函数的统计量的抽样性质将依赖于生成此类预测所使用的估计方案。关键观察在于，预测模型的估计参数 ${\hat{\beta }}_t$ 通常会随着时间推移而更新，因为它们基于做出预测时可用数据集中的信息。${\hat{\beta }}_t$ 随时间的变化为预测引入了新的变异来源。此外，预测模型参数的递归更新会在结果变量 $y_{t+h}$ 的冲击与未来参数估计 ${\hat{\beta }}_{t+h},{\hat{\beta }}_{t+h+1}$ 等之间诱发相关性。这些效应将问题从仅仅评估一个样本均值，扩展为一个以更复杂方式依赖于数据的问题。

由此出现两种可能的情形。第一，预测模型参数中的抽样误差可能是渐近无关的。在此情形下，可以假设预测误差来自真实模型，并基于平均损失进行推断。第二，预测的构建方式可能在渐近上具有重要影响，在此情形下，预测模型的参数估计为平均损失提供了第二重随机性来源。对于第二种情形，已经研究了几种不同的预测模型参数估计方法。每种方法由于 ${\hat{\beta }}_t$ 估计方式的不同而具有不同的损失 $L(\hat{f}(x_t,{\hat{\beta }}_t),y_{t+h})$ 抽样分布。通常这些差异要么在渐近上不可忽略，要么即使在渐近上可忽略时，仍具有不同的二阶渐近效应。

为了应对样本内预测在实时中不可行的批评，样本外(OoS)预测施加了如下约束：预测模型的参数估计只能使用计算预测时（即我们记为时刻 $t$）可用的信息。因此，估计时刻 $t$ 的预测模型并生成预测 $f_{t+h|t}$ 时，只能使用 $Z_t$ 中包含的信息。推进一个时期到时刻 $t+1$，生成预测 $f_{t+h+1|t+1}$ 时只能使用 $Z_{t+1}$ 中包含的信息，依此类推。同样的论证也适用于预测模型的选择，即只能使用时刻 $t$ 已知的息来选择用于生成预测 $f_{t+h|t}$ 的模型。只有在样本的最末端，即时刻 $T$，才可以使用全部样本来选择和估计预测模型的参数。

OoS 预测估计方法的众多变体在如何通过或多或少强烈地折现过去数据来应对可能的模型不稳定性方面存在差异。各种加权方法之间的差异可以在具有单期预测期 $(h=1)$ 的线性回归模型背景下加以说明，

$$y_{t+1}={\beta }^{\prime }{x}_t+{\epsilon }_{t+1},$$

由此得到形如 ${\hat{f}}_{t+1|t}={\hat{\beta }}_t^{\prime }{x}_t$ 的一步预测，其中

$${\hat{\beta }}_t={\left(\sum _{s=1}^t\omega (s,t)x_{s-1}{x}_{s-1}^{\prime }\right)}^{-1}\left(\sum _{s=1}^t\omega (s,t)x_{s-1}{y}_s\right).\text{\hspace{1em}(16.7)}$$

不同的方法由不同的权重函数 $\omega (s,t)$ 定义，权重函数决定了近期数据相对于较旧数据的重要性。接下来我们描述最常见的几种加权方案。