15.5 不依赖结果测量的最优性检验

15.5 不依赖于结果变量测度的最优性检验

基于预测误差(如(15.22)式)的传统预测效率检验要求我们观察结果变量的实际实现值，以便计算 $e=y-f$。然而此类数据并非总能得到。例如,许多宏观经济变量会受到数据修订的影响,因此可以使用首次发布数据、第二次发布数据或最新数据版本来测度结果。这引出了一些基本问题,涉及预测者究竟是在试图预测首次发布的数据,还是在预测某个可能永远无法确切知晓的潜在"真实"变量。

在对预测进行均方误差(MSE)损失下的评估时,这些问题可以被忽略,前提是能够获得对同一"事件"$Y_t$ 在不同时点所产生的多个预测。正如 Nordhaus(1987)所示,预测修订本身应当是不可预测的,并服从鞅过程。要理解这一点,在 MSE 损失下,请注意理性预测满足 $f_{t+h|t}=E[Y_{t+h}|Z_t]$ 以及 $f_{t+h|t+1}=E[Y_{t+h}|Z_{t+1}]$。由迭代期望定律: $$E[f_{t+h|t+1}|Z_t]=E[E[Y_{t+h}|Z_{t+1}]|Z_t]=E[Y_{t+h}|Z_t]=f_{t+h|t}$$ 因此,对固定事件 $Y_{t+h}$ 的最优预测在时间序列上其自身被预期不会发生变化:

$$E[f_{t+h|t+1}-f_{t+h|t}|Z_t]\equiv E[\Delta f_{t+h}|Z_t]=0.\text{\hspace{1em}(15.39)}$$

换言之,对下一期预测值的最佳当前预测就是当前的预测值。如果我们预期下一期预测会以可预测的方式相对于当前值发生变化,那么该信息应当促使我们修订当前预测,从而该当前预测在最初就不可能是理性的。

(15.39)式中的鞅差分条件可以通过一个不涉及结果变量的简单回归来检验:

$$\Delta f_{t+h|t+1}={\alpha }_h+{\delta }_h{v}_t+u_{t+h},\text{\hspace{1em}(15.40)}$$

其中 $\Delta f_{t+h|t+1}=f_{t+h|t+1}-f_{t+h|t}$,$v_t=g(z_t)\in Z_t$,在预测理性的原假设下,$\alpha =\delta =0$。

Patton 和 Timmermann(2012)提出了对该性质的一种替代回归检验方法,在 Mincer–Zarnowitz 回归中以短期预测替代实际结果变量:

$$f_{t|t-h_S}=\alpha +\beta f_{t|t-h_L}+{\epsilon }_t,\text{\hspace{1em}(15.41)}$$

其中 $h_S<h_L$,在预测理性的原假设下,$\alpha =0$,$\beta =1$。如果预测期超过两个,该回归将采用一组堆叠回归的形式;或者,也可以将以往的预测或预测修订全部纳入(15.41)式的右侧作为解释变量。