15.4 未知损失下的最优性检验

15.4 未知损失下的最优性检验

如果预测者的损失函数的具体形式并未被限定为仅含少量未知参数的形式，那么对预测最优性进行检验可能会非常困难。一种策略是对损失函数和/或底层的数据生成过程施加限制，并在此类限制下推导可检验的推论。

Patton 和 Timmermann（2007b）刻画了当损失函数和底层数据生成过程均以这种方式受到限制时的最优预测。他们证明，如果可预测性被约束到结果的均值，那么对于仅依赖于预测误差的损失函数，最优预测具有非常简单的形式。

具体而言，假设损失函数仅依赖于预测误差：

$$L(f,y)=L(e),\text{\hspace{1em}(15.31)}$$

而数据生成过程的动态性仅存在于条件均值中：

$$Y_{t+h}={\mu }_{t+h\mid t}+{\sigma }_{\epsilon ,h}{\epsilon }_{t+h},{\epsilon }_{t+h}\mid Z_t\sim p_{\epsilon ,h}\left(0,1\right),\text{\hspace{1em}(15.32)}$$

其中 $p_{\epsilon ,h}(0,1)$ 是 ${\epsilon }_{t+h}$ 的密度，其均值为 0、方差为 1。该密度可能依赖于 h，但不依赖于 $Z_t$ 。Patton 和 Timmermann（2007b）证明，在 (15.31) 和 (15.32) 的条件下：

1. 最优预测具有如下形式：

$$f_{t+h|t}={\mu }_{t+h|t}+{\alpha }_h,$$

其中常数 ${\alpha }_h$ 仅依赖于密度 $p_{\epsilon ,h}$ 和损失函数；

2. 与最优预测相关联的预测误差 ${\mathbf{e}}_{t+h|t}$ 与所有 $z_t\in Z_t$ 独立；特别地，对于所有 $j\ge h$ 以及任意 $h>0$，有 $\mathrm{Cov}(e_{t+h|t},e_{t+h-j|t-j})=0$；

3. 与最优预测相关联的预测误差的方差 $V(e_{t+h|t})$ 关于预测期 h 非递减。

第一个结论也由 Granger（1969b）以及 Christoffersen 和 Diebold（1997）给出，而最优偏差具有时不变性的结果则可通过如下推导得到：与最优预测相关联的预测误差具有以下形式

$$e_{t+h|t}=y_{t+h}-f_{t+h|t}={\sigma }_{\epsilon ,h}{\epsilon }_{t+h}-{\alpha }_h,$$

其中 ${\alpha }_h$ 是一个常数，因此独立于所有 $z_t\in Z_t$ 。该性质可以通过在如下回归中检验约束 ${\beta }_h=0$ 来进行检验：

$$e_{t+h|t}={\alpha }_h+{\beta }_h^{\prime }{v}_t+u_{t+h},\text{\hspace{1em}(15.33)}$$

其中 $v_t=g(z_t)$ 。回归式 (15.33) 将 (15.21) 中的传统效率回归推广到了允许存在非零常数的情形。一种较不正式的检验可以基于预测值对实际值的散点图。最佳拟合直线应与 $45^{\circ }$ 线平行，但并不一定重合，因为最优偏差可能不为零。

(1)–(3) 中的三个性质以数据生成过程中不存在二阶或更高阶矩的可预测动态这一较强假设为前提。该假设对于许多表现出时变异方差特征的宏观和金融时间序列而言过于严格。另一方面，该结果仅对损失函数施加了较弱的假设。如果能够对损失函数施加更多的结构性限制，则可以放松对数据生成过程的假设。Patton 和 Timmermann（2007b）针对具有时变均值和方差的更一般数据生成过程类，给出了预测最优性结论。

具体而言，假设损失函数关于预测误差是齐次的：

$$L(ae)=g(a)L(e),\text{\hspace{1em}(15.34)}$$

而数据生成过程可以具有条件均值和条件方差的动态：

$$y_{t+h}={\mu }_{t+h\mid t}+{\sigma }_{t+h\mid t}{\epsilon }_{t+h},{\epsilon }_{t+h}\mid Z_t\sim p_{\epsilon ,h}\left(0,1\right),\text{\hspace{1em}(15.35)}$$

其中密度 $P_{\epsilon ,h}\left(0,1\right)$ 具有零均值和单位方差，且可以依赖于 h，但不依赖于 $Z_t$ 中的元素。则最优预测具有如下形式：

$$f_{t+h|t}={\mu }_{t+h|t}+{\sigma }_{t+h\mid t}\cdot {\gamma }_h,$$

其中常数 ${\gamma }_h$ 仅依赖于密度 $p_{\epsilon ,h}$ 和损失函数。该结果在很大程度上依赖于损失函数的齐次性 (15.34)，并结合了底层数据生成过程 (15.35) 的条件尺度-位置性质。

设与最优预测相关联的标准化预测误差为 ${\tilde{e}}_{t+h|t}=e_{t+h|t}/{\sigma }_{t+h|t}$ 。则 ${\tilde{e}}_{t+h|t}$ 与任意元素 $z_t\in Z_t$ 独立。特别地，对于所有 $j\ge h$、任意 $h>0$ 以及协方差存在的所有 $r,s$，有 $\mathrm{Cov}({\tilde{e}}_{t+h|t}^r,{\tilde{e}}_{t+h-j|t-j}^s)=0$。

该结论可通过以下推导得到：${\tilde{e}}_{t+h|t}={\epsilon }_{t+h}-{\gamma }_h$，其中 ${\gamma }_h$ 对于固定的 h 为常数，并且根据假设，${\epsilon }_{t+h}$ 与 $Z_t$ 中的所有元素独立，且具有单位方差。该结论所涵盖的数据生成过程包括 Engle（1982）所提出的 ARCH 模型。

即使这些结果背后的假设成立，可以推断预测误差通常也不会是无偏的、序列无关的或同方差的。然而，经过条件标准差缩放后的预测误差 ${\tilde{e}}_{t+h|t}$ 独立于任何 $z_t\in Z_t$，并且该缩放后的预测误差 ${\tilde{e}}_{t+h|t}$ 将是序列无关且同方差的。问题在于，基于 ${\tilde{e}}_{t+h|t}$ 的检验需要 ${\sigma }_{t+h|t}$ 的估计值是可用的。对于许多类型的金融数据，条件方差可以使用 GARCH 类模型、非参数方法或已实现波动率估计量从结果变量的时间序列中估计得出；参见第 13 章。

对于难以构建 ${\sigma }_{t+h|t}$ 可靠估计的情况，Patton 和 Timmermann（2007b）证明，在得到前述结果的相同条件下，最优预测可以表示为结果变量的条件分位数。具体而言，虽然最优预测同时依赖于预测期和损失函数的形状，但它随时间是恒定的。设 $P_{t+h|t}$ 为在给定 $Z_t$ 下 $y_{t+h}$ 的条件分布函数，并假设以下条件之一成立：（i）损失函数仅依赖于形如（15.31）式的预测误差 $L(e)$，而数据生成过程仅在条件均值上具有如（15.32）式所示的动态性；或（ii）损失函数对预测误差具有形如（15.34）式的齐次性，而数据生成过程可以具有如（15.35）式所示的条件均值和方差动态性。那么最优预测 $f_{t+h|t}^{\ast }$ 具有以下性质：对所有 $t$，

$$P_{t+h|t}\left(f_{t+h|t}^{\ast }\right)=q_h^{\ast },\text{\hspace{1em}(15.36)}$$

其中 $q_h^{\ast }\in (0,1)$ 仅依赖于密度函数 $p_{\epsilon ,h}$ 和损失函数。如果 $P_{t+h|t}$ 连续且严格递增，则我们可以将其等价地表示为

$$f_{t+h|t}^{\ast }=P_{t+h|t}^{-1}\left(q_h^{\ast }\right).\text{\hspace{1em}(15.37)}$$

为了便于检验此性质，定义指示变量 $1(y_{t+h}\le f_{t+h|t})$，当预测大于或等于结果时取值为 1，否则取值为 0。可以推断，对于最优预测，$1(y_{t+h}\le f_{t+h|t})$ 独立于 $Z_t$ 中的所有 $z_t$，且 $1(y_{t+h}\le f_{t+h|t})$ 关于 $Z_t$ 中的所有信息是鞅差序列。

尽管 $q_h^{\ast }$ 通常是未知的，但可以通过将指示函数 $1(y_{t+h}\le f_{t+h|t}^{\ast })$ 对元素 $v_t=g(z_t)\in Z_t$ 和截距项进行投影，并检验回归方程中 ${\beta }_h=0$ 来方便地构造基于此结果的检验：

$$1(y_{t+h}\le f_{t+h|t}^{\ast })={\alpha }_h+{\beta }_h^{\prime }{v}_t+u_{t+h}.\text{\hspace{1em}(15.38)}$$

也可以采用 Christoffersen（1998）提出的独立性似然比检验来检验指示变量 $1(y_{t+h}\le f_{t+h|t}^{\ast })$ 的序列相关性。该检验既不需要知道未知的条件分布 $P_{t+h|t}$，也不需要知道 $Y$ 的条件均值或方差。