15.3.2 损失形状已知但参数未知时的最优性检验

15.3.2 已知损失形状但参数未知的最优性检验

15.3.1节中的所有结果都依赖于MSE损失，这为我们使用预测误差 $e$ 代替 $L^{\prime }(f,y)$ 提供了依据。如果损失函数不属于MSE族，那么预测误差 $e_{t+h}$ 与检验工具变量 $v_t$ 之间的正交性就不再意味着预测是有效的。反之，如果损失函数不属于MSE族，拒绝 $e_{t+h}$ 与 $v_t$ 之间的正交性也不意味着预测是无效的。

在实际应用中，预测者的损失函数通常是未知的。当我们评估由第三方构建的预测时就会出现这种情况，因为这些预测是为其自身（未知的）目的而构建的。虽然损失函数可能未知，但有可能它能被一个已知的损失函数族很好地近似，除了少数几个形状参数外。或者，损失函数可能完全未知。我们在此讨论第一种情况，随后转向第二种情况。

当预测者的损失函数除了有限个参数外已知时，可以使用考虑未知参数的理性检验。例如，考虑由Elliott、Komunjer和Timmermann（2005）提出的，并在第2章中详细描述的双参数损失函数背景下的最优性检验：

$$L(e_{t+1\mid t},\mathbf{p},\mathbf{\alpha })\equiv [\alpha +(1-2\alpha )1(e_{t+1\mid t}<0)]|e_{t+1\mid t}{|}^{\mathbf{p}},\text{\hspace{1em}(15.28)}$$

其中 $\mathbf{p}$ 为正整数，而 $\alpha \in (0,1)$ 。Elliott、Komunjer和Timmermann（2005）考虑了 $p=1$ 或 $p=2$ 的情况。在他们的设定中，理性只能与 $\alpha$ 的估计联合检验，因此他们的分析旨在回答是否存在一个 $\alpha$ 使得预测理性不被拒绝。

给定 $d$ 个工具变量 $v_t$ ，可以使用线性工具变量估计量来获得 $\alpha$ 的估计，未知损失参数 ${\hat{\alpha }}_T$ 为：

$${\hat{\alpha }}_T\equiv \frac{{\left[\frac{1}{T-1}{\sum }_{t=1}^{T-1}{v}_t|e_{t+1\mid t}|P^{-1}\right]}^{\prime }{\hat{S}}^{-1}\left[\frac{1}{T-1}{\sum }_{t=1}^{T-1}{v}_{t}1(e_{t+1\mid t}<0)|e_{t+1\mid t}|P^{-1}\right]}{{\left[\frac{1}{T-1}{\sum }_{t=1}^{T-1}{v}_t|e_{t+1\mid t}|P^{-1}\right]}^{\prime }{\hat{S}}^{-1}\left[\frac{1}{T}{\sum }_{t=1}^T{v}_t|e_{t+1\mid t}|P^{-1}\right]},\text{\hspace{1em}(15.29)}$$

其中 $\hat{\mathbf{s}}$ 是正定权重矩阵 $\mathbf{S}=$ $E\left[v_t{v}_t^{\prime }(1\left(e_{t+1\mid t}<0\right)-\alpha {)}^2|e_{t+1\mid t}{|}^{2p-2}\right]$ 的一致估计量，预测从 $t=1$ 到 $t=T$ 。Elliott、Komunjer和Timmermann（2005）建立了一些条件，在这些条件下，对于给定的 $\hslash =1,2$ 值，可以基于以下检验统计量对预测理性和(15.28)式中的灵活损失函数进行联合检验：

$$\begin{array}{c}J=\frac{1}{T-1}[{\left(\sum _{t=1}^{T-1}{v}_t[1(e_{t+1\mid t}<0)-{\hat{\alpha }}_T]|e_{t+1\mid t}{|}^{p-1}\right)}^{\prime }{\hat{S}}^{-1}\\ \times \left(\sum _{t=1}^{T-1}{v}_t[1(e_{t+1\mid t}<0)-{\hat{\alpha }}_T]|e_{t+1\mid t}{|}^{p-1}\right)]\sim {\chi }_{d-1}^2.\end{array}\text{\hspace{1em}(15.30)}$$

该检验要求工具变量数量 $d>1$（该检验是过度识别检验），并假设预测是使用递归估计方案构建的。与之前的理性检验一样，该检验仅对检验所选择工具变量隐含的方向具有检验力。

基于MSE损失假设的检验是(15.28)式中 $p=2$ 且 $\alpha =0.5$ 时的特例。区别在于，如果确实 $\alpha =0.5$ ，基于MSE损失的检验施加了这一约束，而(15.30)式中的检验使用 $\alpha$ 的一致估计量，将其视为未知，因此其检验力低于施加 $\alpha =0.5$ 约束的检验。反过来说，如果 $\alpha \ne 0.5$ ，那么基于MSE损失的常规检验将以概率1渐近地错误拒绝预测理性的原假设。

相比之下，(15.30)式中的检验是一致的，避免了这个问题，如果预测者的损失函数反映了不同的真实 $\alpha$ 值，则可以控制检验的规模。渐近地，放松 $\alpha =0.5$ 的假设不会带来损失，但在将检验力引导到期望方向方面显然是有收益的。

当我们将Elliott、Komunjer和Timmermann(2005)的方法应用于专业预测人员调查中的一组当季GDP增长预测样本，使用常数和滞后预测误差作为工具变量时，α的估计值为0.35，相应的J检验统计量(来自(15.30)式)为0.25，在统计上不显著。对过度识别约束α=0.5的检验得到的统计量为8.93，这意味着理性预测和二次误差损失的原假设被强烈拒绝。对于当季通胀预测，α的估计值为0.55，相应的检验统计量分别为12.3和13.2，无论α是否被约束等于0.5，这两种情况都拒绝了预测理性的原假设。这说明了损失函数的不同形状如何导致关于预测是否理性的不同推断。

(15.30)式中的检验已被应用于许多预测问题，包括能源预测方面的应用(Auffhammer, 2007)、经济增长方面的应用(Elliott、Komunjer和Timmermann, 2008)以及欧盟委员会预测方面的应用(Christodoulakis和Mamatzakis, 2009)。