15.3.1 平方误差损失下的效率性质

15.3.1 平方误差损失下的有效性性质

在平方误差或均方误差损失下，可以得到具体且广为人知的结果。具体而言，当损失函数关于预测误差为二次形式，即 $L(f,Y)=L(e)=e^2$ 时，式 (15.6) 中最优预测的一阶条件可以大幅简化：

$$\frac{\partial E[(y_{t+h}-f_{t+h|t}{)}^2|Z_t]}{\partial f_{t+h|t}}=-2E[e_{t+h|t}|Z_t]=0,\text{\hspace{1em}(15.10)}$$

或等价地，

$$E[e_{t+h|t}{v}_t]=0\text{\hspace{1em}(15.11)}$$

对任意 $v_t=g(z_t)$ 成立，其中 $g$ 是 $z_t$ 的任意可测函数。

由该结果可得出若干可检验的推论。这些都是同一一阶条件 (15.10) 的不同表现形式。具体而言，以下性质成立：⁴

1. 预测是无偏的，即预测误差 $e_{t+h|t}$ 在条件意义和无条件意义下均值都为零：

$$E[e_{t+h|t}]=E[e_{t+h|t}|Z_t]=0.\text{\hspace{1em}(15.12)}$$

2. $h$ 步预测误差 $(e_{t+h|t})$ 与预测计算时所获得的信息 $(Z_t)$ 不相关。特别地，$h$ 步预测误差至多为 $h-1$ 阶序列相关：

$$\mathrm{Cov}(e_{t+h|t},e_{t-j|t-h-j})=0\text{对所有 }j\ge 0.\text{\hspace{1em}(15.13)}$$

因此，$e_{t+h|t}$ 服从一个 $\mathrm{MA}(h-1)$ 过程。在单期预测的特殊情形 $h=1$ 下，预测误差 $e_{t+1|t}$ 是序列不相关的：

$$E[e_{t+1|t}{e}_{t|t-1}]=0.$$

3. 预测误差 $(e_{t+h|t})$ 的方差是预测步长 $h$ 的非递减函数：

$$\mathrm{Var}(e_{t+h|t})\ge \mathrm{Var}(e_{t+h|t+1})\text{对所有 }h\ge 1.\text{\hspace{1em}(15.14)}$$

通过接下来的例子，用简单的时间序列表示来说明这些结果将是有益的。

例 15.3.1（协方差平稳过程的有效性性质）。 假设 $Y$ 是一个协方差平稳过程，并且不失一般性地假设其无条件均值为零。Wold 表示定理则表明 $Y$ 可以表示为一系列序列不相关的白噪声项的线性组合（参见第 7 章）：

$$Y_t=\sum _{i=0}^{\infty }{\theta }_i{\epsilon }_{t-i},\text{\hspace{1em}(15.15)}$$

其中，根据第 7 章，${\epsilon }_t=Y_t-\mathrm{Proj}(Y_t|y_{t-1},y_{t-2},\dots )$ 是在时刻 $t$ 的序列不相关投影误差。⁵

假设 $Z_t=\{{\epsilon }_t,{\epsilon }_{t-1},\dots \}$ 且移动平均参数 $\{{\theta }_0,{\theta }_1,\dots \}$ 已知，则 $h$ 步预测为

$$f_{t+h|t}=\sum _{i=0}^{\infty }{\theta }_{h+i}{\epsilon }_{t-i}.\text{\hspace{1em}(15.16)}$$

这是一个最优预测，前提是 ${\epsilon }_t$ 是高斯的，或者在给定过程过去值 $\{y_{t-1},y_{t-2},\dots \}$ 的条件下，可以视为最优线性预测。对应的预测误差为

$$e_{t+h|t}=y_{t+h}-f_{t+h|t}=\sum _{i=0}^{h-1}{\theta }_i{\epsilon }_{t+h-i}.\text{\hspace{1em}(15.17)}$$

利用 ${\epsilon }_t$ 是序列不相关的零均值白噪声这一事实，可得

$$E[e_{t+h|t}]=0,$$

$$\mathrm{Var}(e_{t+h|t})={\sigma }^2\sum _{i=0}^{h-1}{\theta }_i^2,\text{\hspace{1em}(15.18)}$$

$$\mathrm{Cov}(e_{t+h|t},e_{t+h-j|t-j})=\{\begin{array}{ll}{\sigma }^2{\sum }_{i=j}^{h-1}{\theta }_i{\theta }_{i-j}& \text{当 }0<j<h,\\ 0& \text{当 }j\ge h.\end{array}$$

第二个例子有助于进一步阐明第一个例子所建立的性质。

例 15.3.2（AR(1) 过程的有效性性质）。 考虑如下平稳的一阶自回归过程：

$$y_t=\varphi y_{t-1}+{\epsilon }_t,{\epsilon }_t\sim \text{iid }\mathrm{N}(0,{\sigma }^2),|\varphi |<1,\text{\hspace{1em}(15.19)}$$

其中信息集为 $Z_t=(y_t,y_{t-1},\dots )$，从而

$$y_{t+h}={\varphi }^h{y}_t+\sum _{i=1}^h{\varphi }^{h-i}{\epsilon }_{t+i}.\text{\hspace{1em}(15.20)}$$

利用 $E[{\epsilon }_{t+i}|Z_t]=0$ 对所有 $i\ge 1$ 成立，由 (15.20) 可得

$$f_{t+h|t}={\varphi }^h{y}_t,$$

$$e_{t+h|t}=\sum _{i=1}^h{\varphi }^{h-i}{\epsilon }_{t+i}.$$

容易看出，

$$E[e_{t+h}|Z_t]\equiv E[e_{t+h|t}]=E\left[\sum _{i=1}^h{\varphi }^{h-i}{\epsilon }_{t+i}\right]=0.$$

此外，$\mathrm{Cov}(e_{t+1|t},e_{t|t-1})=0$，而对 $h>j\ge 1$，

$$\mathrm{Cov}(e_{t+h|t},e_{t+h-j|t-j})=\frac{{\sigma }^2{\varphi }^j(1-{\varphi }^{2(h-j)})}{1-{\varphi }^2},$$

该式关于 $h$ 递增，并表明在超过一个时期的预测步长下，预测误差将是序列相关的。最后，由 (15.20) 注意到

$$\mathrm{Var}(e_{t+h|t})=\frac{{\sigma }^2(1-{\varphi }^{2h})}{1-{\varphi }^2},$$

这是关于 $h$ 的非递减函数，从而验证了第三个性质——预测误差的方差随预测步长弱递增。

前两个最优性性质（15.12）和（15.13）通常通过将预测误差对预测者信息集中的元素 $v_t=g(z_t)$ 进行回归来检验：

$$e_{t+h|t}={\beta }^{\prime }{v}_t+u_{t+h}\text{\hspace{1em}(15.21)}$$

预测有效性的零假设检验形式为：

$$\begin{array}{r}{H}_0:\beta =0,\\ \text{对立假设}{H}_1:\beta \ne 0.\end{array}$$

无偏性和正交性的检验仅对应于检验函数 $v_t$ 的不同选择。无条件无偏性检验将 $v_t$ 设为常数：

$$e_{t+h|t}={\beta }_0+u_{t+h}\text{\hspace{1em}(15.22)}$$

在预测值对被预测变量的散点图中，这表示由预测平均值和实际结果所确定的点位于45度直线上的情况（见图15.2）。若拒绝 ${\beta }_0=0$，则表明预测是实际结果的有偏估计量，这也解释了为什么该程序被称为无偏性检验。无偏性通常也被视为 Mincer–Zarnowitz 回归（Mincer and Zarnowitz, 1969）中 ${\beta }_0=0,{\beta }_1=1$ 的联合检验，即在（15.22）两边加上预测值 $f_{t+h|t}$：

$$y_{t+h}={\beta }_0+{\beta }_1{f}_{t+h|t}+u_{t+h}\text{\hspace{1em}(15.23)}$$

这对应于在（15.21）中设定 $v_t=(1,f_{t+h|t})$。

作为经验性例证，我们回到 Greenbook 预测，使用 Mincer–Zarnowitz 检验来检查预测是否无偏，采用 F 检验来检验 ${\beta }_0=0,{\beta }_1=1$。GDP 预测的预测无偏原假设被强烈拒绝，但通货膨胀率的预测未被拒绝。从分别对 ${\beta }_0$ 和 ${\beta }_1$ 进行的单独 t 检验中，可以明显看出 GDP 序列的截距项非负。作为另一种检验方法，我们检查预测误差是否存在序列相关。由于自相关系数约为 0.5，我们可以对两个序列强烈拒绝原假设，这表明预测还有改进空间。

将（15.21）中的检验函数 $v_t$ 扩展为包含其他信息，可以检验预测误差是否与此类信息正交。例如，设定 $v_t=(e_{t|t-h},e_{t-1|t-h-1},\dots )$ 可以得到弱预测理性检验，从而考察预测误差中是否存在超出因使用超过一个时期的预测期而导致的任何数据重叠所预期范围之外的序列相关。如（15.18）所示，即使是最优多步预测，由于预测误差的重叠，也可能是序列相关的。无论如何，一般规则是，理性检验应使用预测生成时所对应的信息。这样做总能确保理性检验的有效设定。

假设预测理性原假设被拒绝。这表明预测者未能有效利用检验中的所有信息，这意味着预测可以改进。这一点在 MSE 损失和以下回归情形下最为直观：

$$y_{t+h}=\alpha +\beta f_{t+h|t}+\lambda v_t+{\epsilon }_{t+h}\text{\hspace{1em}(15.24)}$$

假设我们拒绝原假设 $\alpha =0,\beta =1,\lambda =0$，即预测是有偏的。那么可以计算一个偏差调整后的预测：

$${\hat{f}}_{t+h|t}^{\text{adj}}=\hat{\alpha }+\hat{\beta }{\hat{f}}_{t+h|t}+\hat{\lambda }{v}_t\text{\hspace{1em}(15.25)}$$

其中"hat"表示最小二乘估计。这种方法的优点在于它是产生潜在改进预测的简单策略。缺点在于它是一种机械性的调整，不能解释原始模型中产生偏差的原因，也未尝试构建更好的预测模型。此外，由于 $\hat{\alpha },\hat{\beta },\hat{\lambda }$ 的估计误差，该程序在实际中并不一定能产生比原始（有偏）预测更优的风险函数。

第三个性质（15.14），即预测误差方差应随预测期弱递增，检验起来不太常见，部分原因是该检验需要不同预测期的预测数据。这种类型的数据在经济调查中最为常见。针对这种情况，Patton and Timmermann (2012) 提出了一种方法，该方法利用了均方预测误差期限结构的全部信息，即记录在不同预测期下的完整 MSE 值集合。假设与一组递增的预测期 $h=h_1,h_2,\dots ,h_H$ 对应的 MSE 值可用，并将相应的 MSE 总体值记为 ${\mathbf{\mu }}^e=[{\mu }_1^e,\dots ,{\mu }_H^e{]}^{\prime }$，其中 ${\mu }_j^e\equiv \mathcal{E}[e_{t+h_j|t}^2]$。将相关的 MSE 差分定义为 ${\Delta }_j^e\equiv {\mu }_j-{\mu }_{j-1}=E[e_{t+h_j|t}^2]-E[e_{t+h_{j-1}|t}^2]$，由（15.14）可知，在平方误差损失下，预测误差平方的期望值关于预测期是弱递增的：

$${\Delta }_j^e\ge 0\text{对于}j=2,\dots ,H\text{\hspace{1em}(15.26)}$$

此弱单调性性质可通过以下零假设进行检验：

$$H_0:{\Delta }^e\ge 0\text{对立假设}{H}_1:{\Delta }^e\ngeqq 0\text{\hspace{1em}(15.27)}$$

其中 $((H-1)\times 1)$ 维的均方误差差分向量为 ${\Delta }^e\equiv {\left[{\Delta }_2^e,\dots ,{\Delta }_H^e\right]}^{\prime }$。该检验使用未知均方误差差分的样本类似量，${\hat{\Delta }}_j^e={\hat{\mu }}_j-{\hat{\mu }}_{j-1}$，其中 $\begin{array}{r}{\hat{\mu }}_j\equiv (1/T){\sum }_{t=1}^T{e}_{t+h_i|t}^2.\end{array}$ 检验没有可用的标准临界值。然而，Wolak（1987）的研究表明，在原假设下，这些临界值可以表示为卡方变量的加权和，$\begin{array}{r}{\sum }_{i=0}^{H-1}\omega (H-1,i){\chi }^2(i)\end{array}$，其中 $\omega (H-1,i)$ 为权重，${\chi }^2\overline{(i)}$ 为自由度为 $i$ 的卡方变量。权重对应于向量 $Z\sim \mathrm{N}(0,\Sigma )$ 具有 $i$ 个正元素的概率，其中 $\Sigma$ 是估计参数向量 ${\hat{\Delta }}^e$ 的长期协方差矩阵。这可以通过模拟或闭式计算得出；详见 Patton 和 Timmermann（2012）。另外，也可以采用 White（2000）或 Hansen（2005）的自助法；当预测期数较大时，这些方法尤其有用。

图 15.6 给出了将该界应用于从专业预测者调查获得的失业率和实际 GDP 增长的季度预测的经验示例。我们使用 1968Q4 至 2009Q4 样本期内的平均预测。如图所示，对于失业率预测，均方误差随预测期单调递增，但对于 GDP 增长，在最长的四季度预测期则并非如此。

图 15.6：专业预测者调查平均预测的均方预测误差作为预测期的函数。

当预测模型在参数的总体值下进行评价时，诸如（15.26）式的界成立。在存在参数估计误差的情况下，单调性性质可能会被破坏，如 Hoque、Magnus 和 Pesaran（1988）以及 Magnus 和 Pesaran（1989）所示。因此，不呈弱递增的均方误差项结构不一定表明预测是无效的，而可能是由估计误差引起的。在对其论文讨论的回复中，Patton 和 Timmermann（2012）针对 AR(1) 模型进行了蒙特卡洛模拟，并发现当估计样本量为 100 或以上时，Patton 和 Timmermann（2012）中的所有单调性和界的结果在存在参数估计误差的情况下仍然成立。他们发现估计误差只有在非常小的样本量（例如 25 个观测值）下才会推翻这些界。事实上，基于不等式约束的检验似乎比基于等式约束的正交性检验对参数估计误差的敏感性更低。