15.3 已知损耗下的效率性质

15.3 已知损失下的效率性质

为了更严谨地讨论和检验实际值与预测值之间的关系，有必要为最优或"良好"预测确立一个基准。正如本书一再强调的，这一问题最好参照预测者的损失函数和信息集来讨论。我们首先讨论最优预测针对一般损失函数应具备的性质，然后再讨论更专门的情形，如二次损失或齐次损失。

理性或最优预测的思想源自理性预期文献，最早由 Muth (1961) 提出，随后由 Mincer 和 Zarnowitz (1969) 引入预测分析，其后的文献包括 Nordhaus (1987) 以及 Batchelor 和 Dua (1991)。最初的概念是，理性主体在知晓结果变量的真实数据生成过程（DGP）（包括模型及其参数）的情况下，利用所有当前可获得的信息来构造对结果变量的预测。理性意味着在构造预测时对预测者可获得的所有信息的最优利用，因此在此情形下"理性"、"有效"和"最优"预测是同义的。若给定损失函数和特定数据集，预测充分利用了所有可获得的信息，以至于这些数据无法被用于构造更好的预测，则该预测被视为理性的。已经提出了各种形式的理性，例如弱理性与强理性、预测的无偏性以及预测误差与所有可获得信息的正交性。相应的检验从最优性角度蕴含着类似的构造，等价于检验一阶条件：预测不能利用事前可获得的信息加以改进。

秉承理性预期文献的精神，早期文献假设有效预测基于对真实数据生成过程的了解，包括真实参数值。近期研究放宽了这一假设，允许参数估计误差的存在。在对真实数据生成过程存在不确定性的情况下，有效预测的含义是它们不存在明显的设定错误，从而不会被其他预测方法所支配。

根据定义，有效预测具有如下性质：没有任何其他预测或预测与预测者信息集 $Z_t$ 中可用数据的组合能够产生更小的期望损失，因此，与 (3.3) 一致，

$$f_{t+h|t}^{\ast }=\underset{f(z_t)}{\mathrm{argmin}}E\left[L(f(z_t),y_{t+h})|Z_t\right].\text{\hspace{1em}(15.4)}$$

等价地，若 $f^{\ast }$ 对给定扩展数据集 $z_t\in Z_t$ 中的可用信息而言是最佳预测的充分统计量，则效率成立，即对任意 ${\tilde{f}}_{t+h|t}=f(z_t)$，

$$E\left[L(f_{t+h|t}^{\ast }(z_t),y_{t+h})|Z_t\right]\le E\left[L({\tilde{f}}_{t+h|t}(z_t),y_{t+h})|Z_t\right].\text{\hspace{1em}(15.5)}$$

若 $Z_t$ 中的额外信息能够用于提供优于 $f^{\ast }$ 的预测，则该预测被认为不是最优的，因为它未能有效利用 $Z_t$ 中的全部数据。该定义明确以所考虑的信息集 $Z_t$ 为条件，因此任何效率检验都是在特定信息集条件下进行的。发现可以通过加入在原始预测计算时无法获得的信息来改进预测，并不能证明原始（较小的）信息集未被有效利用。当然，若该信息随后变得可用，它可能有助于改进原始预测。

信息集的构成是常用的"弱型"与"强型"预测效率术语背后的基础。弱型预测效率检验所指的信息集仅包括过去的预测和过去的结果（因而包括过去的预测误差），即 $Z_t=\{y_{t-i},f_{t+h-i|t-i},e_{t-i|t-h-i}\}$，$i=0,1,\dots ,t$。强型效率指将信息集扩展到包含其他变量，通常包括预测作出当时公开可获得的所有变量。

理性也是在给定损失函数的背景下定义的：在一种损失函数 $L_1$ 下有效的预测，在另一种损失函数 $L_2\ne L_1$ 下未必有效。例如，一种损失函数可能仅要求预测均值，而另一种损失函数可能要求同时预测均值和方差。对均值设定正确但对方差设定不正确的预测模型，在第一种损失函数下是有效的，但在第二种损失函数下则不是。在预测背后的损失函数未知的情况下，关于某一预测相对于一种损失函数是无效的、而相对于另一种损失函数似乎是有效的证据，可能有助于确定预测者隐含使用的损失函数的形状，至少在预测理性的原假设下如此。

假设损失函数关于预测一次可微，最优预测的一阶条件为

$$E\left[L^{\prime }(f_{t+h|t}(z_t),y_{t+h})|Z_t\right]=0,\text{\hspace{1em}(15.6)}$$

其中 $L^{\prime }(f_{t+h\mid t}(z_t),y_{t+h})$ 是损失函数关于预测的导数，在最优预测 $f_{t+h|t}^{\ast }$ 处求值，即

$$L_{t+h|t}^{\prime }(.)\equiv {\frac{\partial L\left(f_{t+h\mid t},y_{t+h}\right)}{\partial f_{t+h\mid t}}|}_{f_{t+h\mid t}^{\ast }}.\text{\hspace{1em}(15.7)}$$

(15.6)中的一阶条件构成了许多预测理性检验的基础。Granger (1999) 将 (15.7) 中的导数称为广义预测误差。在允许期望算子和微分算子交换的广泛条件下，(15.6) 的一个含义是广义预测误差是一个鞅差序列，因此相对于预测者信息集中的所有元素具有零条件均值。这些条件既不要求 $L$ 关于预测处处可微，也不假设最优解唯一。

条件矩条件 (15.6) 是相对于信息集 $Z_t$ 表述的，因此不适合直接用于检验。如果 $Z_t$ 由变量 $z_t$ 生成，那么 (15.6) 中的条件矩条件可以转化为以下形式的无条件矩条件：

$$E[L^{\prime }(f_{t+h\mid t},y_{t+h})g(z_t)]=0,\text{\hspace{1em}(15.8)}$$

对所有可能的函数 $g(z_t)$ 成立。${}^3$ 我们使用符号 $v_t=g(z_t)$ 表示此类函数的给定选择，并沿用 White (2000) 的说法将其称为"检验函数"。检验函数 $v_t$ 的不同选择会改变 (15.8) 中矩条件检验的检验功效方向。特定的检验函数 $v_t$ 在损失函数导数与 $v_t$ 之间相关的方向上具有功效，但在与 $v_t$ 正交的方向上功效为零。

实施 (15.8) 中正交性条件检验的最常见方法是考虑如下回归：

$$L^{\prime }(f_{t+h\mid t}(z_t),y_{t+h})={\beta }^{\prime }{v}_t+u_{t+h},\text{\hspace{1em}(15.9)}$$

并检验 $H_0:\beta =0$ 对 $H_1:\beta \ne 0$。

对于均方误差损失，$L^{\prime }(f_{t+h\mid t}(z_t),y_{t+h})$ 仅是实际结果与预测之差，即预测误差 ${\mathbf{e}}_{t+h|t}$。进行推断的主要挑战在于理解此类回归中 $\hat{\mathbf{\beta }}$ 的抽样分布。例如，推断通常取决于预测的生成方式。我们将在下面讨论这些问题。

从理性假设被拒绝中可以推导出的含义是：$v_t$ 中存在可以潜在用于改进预测的信息。将 $v_t$ 纳入用于构建预测的信息集中并重新计算最优预测，可能会产生具有较低预期风险的预测，并可能导致一个修订后的预测，对于该预测 $L^{\prime }(f_{t+h\mid t}(z_t),y_{t+h})$ 与 $v_t$ 正交，从而被认为是理性的。

虽然预测效率检验取决于可用信息，但也关键性地依赖于假定的损失函数。在均方误差损失的特殊情况下，(15.6) 中的一阶条件不涉及任何未知参数。然而，对于大多数其他损失函数，则涉及额外的参数。即使这些参数已知，(15.6) 中的一阶条件通常也将依赖于描述损失函数形状的额外参数，因此不仅涉及预测误差。反之，如果损失函数的参数未知且必须估计，则效率检验推广为：在某个特定的损失函数族中，是否存在某些参数使得预测可以被合理化。这些额外参数的估计随之成为理性检验的一部分。第三种情况出现于损失函数的形状未知，或者至少在少数几个形状参数意义上未知。虽然无约束的情形无法处理，但如果可以对损失函数和/或底层数据生成过程施加约束，则可以进行理性检验。下面我们将讨论各种此类情况。