15.2 损失分解方法

15.2 损失分解方法

损失分解方法在应用预测文献中很流行，尤其是在平方误差损失下。Theil（1961）提出了如下分解：

$$\begin{array}{rl}E[y-f{]}^2=E[(y-Ey)-(f-Ef)+(Ey-Ef){]}^2& \\ & \\ & =E[y-Ey{]}^2+E[f-E(f){]}^2+(Ey-Ef{)}^2\\ & \\ & -2E[(y-Ey)(f-Ef)]\end{array}$$

图 15.5：美联储《绿皮书》对 GDP 增长率和通胀率预测的提前一期预测误差密度图。

$$\begin{array}{rl}& =(Ey-Ef{)}^2+{\left(\sqrt{E[y-Ey{]}^2}-\sqrt{E[f-E(f){]}^2}\right)}^2\\ & +2\sqrt{E[y-Ey{]}^2}\sqrt{E[f-E(f){]}^2}(1-\rho )\\ & =(Ey-Ef{)}^2+({\sigma }_y-{\sigma }_f{)}^2+2{\sigma }_y{\sigma }_f(1-\rho ),\end{array}\text{\hspace{1em}(15.1)}$$

其中 $\rho ={\sigma }_{yf}/({\sigma }_f{\sigma }_y)$ 是 y 和 $f$ 之间的相关系数。${}^1$ 该表达式的样本类比为

$$\begin{array}{c}\frac{1}{T-h}\sum _{t=1}^{T-h}(y_{t+h}-f_{t+h|t}{)}^2=\frac{1}{T-h}\sum _{t=1}^{T-h}((y_{t+h}-\bar{y})-(f_{t+h|t}-\bar{f})+(\bar{y}-\bar{f}){)}^2\\ ={\hat{\sigma }}_y^2+{\hat{\sigma }}_f^2+(\bar{y}-\bar{f}{)}^2-2{\hat{\sigma }}_{yf}\\ =(\bar{y}-\bar{f}{)}^2+({\hat{\sigma }}_y-{\hat{\sigma }}_f{)}^2+2({\hat{\sigma }}_y{\hat{\sigma }}_f-{\hat{\sigma }}_{yf})\\ =(\bar{y}-\bar{f}{)}^2+({\hat{\sigma }}_y-{\hat{\sigma }}_f{)}^2+2{\hat{\sigma }}_y{\hat{\sigma }}_f(1-\hat{\rho }).\end{array}\text{\hspace{1em}(.2)}$$

这里 $\begin{array}{r}\bar{y}=(T-h{)}^{-1}{\sum }_{t=1}^{T-h}{y}_{t+h}\end{array}$ 和 $\bar{f}=(T-h{)}^{-1}{\sum }_{t=1}^{T-h}{f}_{t+h|t}$ 是样本均值，$\hat{\rho }={\hat{\sigma }}_{yf}/({\hat{\sigma }}_y{\hat{\sigma }}_f)$，其中 ${\hat{\sigma }}_y,{\hat{\sigma }}_f,{\hat{\sigma }}_{yf}$ 分别是 ${\sigma }_y,{\sigma }_f$ 和 Cov(y, f ) 的样本估计量。

式（15.2）中的第一项度量了预测均值与结果均值之间的差异，因此反映了平均预测值是否接近平均结果。当平均结果和平均预测值在预测值对结果的散点图中位于 $45^{\circ }$ 线上时，该项为 0。该项的值较大表明平均预测偏离中心，即存在偏差。对于使用结果滞后值构造的预测，该项不太可能很大。

式（15.2）中的第二项度量了 $f$ 和 y 的标准差之间的差异，反映了预测的变动是否与结果的变动相近。对于像股票回报这样难以预测的变量，由于结果的波动幅度比预测的波动幅度大一个数量级，该项往往非常大。相反，如果预测是由令 $f_{t+h|t}=y_t$ 的随机游走模型生成的，那么该项将接近于 0，因为预测和结果表现出相同程度的变动性。

式（15.2）中的最后一项取决于预测和结果之间的相关性，两者相关性越大，该项越小。对于难以预测的变量，该项会较大，尽管通过 ${\hat{\sigma }}_f$ 的缩放可能会减小该项。

另一种方法更常见于二元预测（它最初是为二元预测而开发的），它将均方误差分解为校准项和分辨力项：

$$\begin{array}{rl}& E[y-f{]}^2=E[(y-E[y])-(f-E[y|f])-(E[y|f]-E[y]){]}^2\\ & =E[(y-E[y]{)}^2]+E[(f-E[y|f]{)}^2]+E\left[(E[y|f]-E[y]{)}^2\right]\\ & -2E[(y-E[y])(E[y|f]-E[y])]+2E[(f-E[y|f])(E[y|f]-y)]\\ & -2E[(y-E[y])(f-E[y|f])]\\ & =E\left[(y-E[y]{)}^2\right]+E\left[(f-E[y|f]{)}^2\right]-E\left[(E[y|f]-E[y]{)}^2\right].\end{array}\text{\hspace{1em}(15.3)}$$

这里的无条件期望是针对 y 和 $f$ 共同取的。该分解中的第一项是结果变量的无条件方差。由于该量不依赖于预测，因此在后续分析中可视为给定。校准被定义为 $E[y-f|f]$。对于任何预测 $f$，该项度量了给定预测时结果的期望值与预测值本身之间的差异。因此，式（15.3）中的第二项等于校准误差的均方值，其中均值是针对 $f$ 取的。一个校准良好的模型对所有 $f$ 的校准度量都为 0。

(15.3)式中的最后一项被称为分辨率项，以负号进入。分辨率衡量的是（对所有预测计算的）预测条件下的平均结果与无条件平均结果之间差异的平方平均值。如果在预测条件下，结果的平均值在一系列较宽的预测范围内都等于结果的无条件平均值，那么该项会很小，表明分辨率较差。在这种情况下，预测除均值外几乎没有捕捉到结果变量的变异。相反，当预测捕捉到了结果变量的较多变异，且$E\left[\mathbf{y}|\mathbf{f}\right]-E\left[\mathbf{y}\right]$倾向于较大时，就实现了高分辨率。

估计(15.3)式分解中各项需要对结果变量在预测条件下的分布进行估计。一种常见的方法是对预测进行离散化以便于此类计算。Galbraith和van Norden（2011）针对连续预测的情况提出了使用非参数方法。

对于表现出非平稳性或趋势性行为的数据，可以通过设置$\begin{array}{r}(T-h{)}^{-1}{\sum }_{t=1}^{T-h}(y_{t+h}-f_t{)}^{-}=(T-h{)}^{-1}{\sum }_{t=1}^{T-h}([y_{t+h}-\end{array}$ $y_t]-[{\bar{f}}_t-y_t]{)}^2$来修改分解。分解中各个组成部分的解释现在适用于实际变化和预测变化。这确保了在样本量变大时方差项和协方差项可以被一致地估计，类似于对具有单位根的变量进行一阶差分以诱导平稳性。

这些分解的一个重要局限性在于，对于任何特定的预测问题，各项应该有多大或多小并没有客观的衡量标准。此外，各项之间通常是相关的，因此某个模型在特定项上的改进可能导致其他项的恶化。在这种情况下，合理的预测改进要求其中一项的改进能够抵消其他项中任何性能的下降。