14.3 组合预测的风险

14.3 预测组合的风险

文献中提出的大多数组合方法在一定程度上都是临时性的。在预测组合方案之间进行选择，就像一般的预测方法一样，实际上是对被认为与当前特定问题相关的数据生成过程选择风险函数的过程。

正如第6章对模型选择方法的分析一样，我们可以通过蒙特卡洛模拟来检验不同预测组合程序的风险。一个立即出现的问题是，大多数组合问题涉及大量参数，风险可能以复杂的方式依赖于这些参数。我们并不试图做到面面俱到，而是采用一个简单的蒙特卡洛设计，该设计既代表了实践中面临的情况，更重要的是，能够突出一些主要的实际问题。这些问题是：第一，Bates和Granger（1969）的最优预测组合需要估计m维组合权重，而这种额外的估计误差会影响风险；第二，等权重预测组合通常表现非常好；第三，没有任何一种组合方法能够一致地占优，原因与我们第6章讨论的相同。在每次蒙特卡洛模拟中，有100个观测值，对每个模型我们报告10万次模拟的平均结果。

等权重组合

此前的最佳模型

逆MSE权重

图14.5：使用等权重平均（上图）、此前的最佳预测者（中图）和逆MSE权重（下图）对专业预测者调查失业率预测的组合。排序和估计基于5年滚动窗口。

蒙特卡洛设计如下。我们假设预测误差服从正态分布 $e_{t+1|t}\sim \mathrm{N}(0,{\Sigma }_{\alpha })$，其中方差-协方差矩阵使得当 $\alpha =0$ 时，每个预测的方差为1，所有预测之间的相关系数为0.5。在 $\alpha =0$ 的基线情况下，等权重是最优的。随着α的变化，Bates-Granger最优权重开始分散。正交且服从正态分布的残差的方差被选为1，这使得将 $y_{t+1}$ 对预测进行回归（不限制系数之和为1）时，$R^2$ 约为40%；该值随α略有上升。

这些模拟的结果如图14.7所示。第一列面板显示 $m=3$ 个预测的结果，而第二列假设被组合的预测数为 $m=10$ 个。图中第一行展示了相对于使用总体最优权重的不可行最优MSE值计算的MSE值。第二行绘制了组合权重。最下面一行的面板显示了等权重检验的功效（实线）和回归的 $R^2$（虚线）。

5年

5年

图14.6：使用等权重平均（上图）、此前的最佳预测者（中图）和逆MSE权重（下图）对专业预测者调查GDP增长率预测的组合。排序和估计基于5年滚动窗口。

图14.7中第一行图表展示了相对于使用不可行最优权重所获得风险的均方误差风险。例如，数值为1.02表示比该基准高2%的风险。我们考察了四种组合方法，即：（a）通过约束最小二乘法估计的最优权重，如方程（14.14）所示；（b）等权重，如方程（14.12）所示；（c）将（a）中的估计向（b）中的估计进行收缩，如方程（14.16）所示，其中 $g=0.5$；（d）根据预测误差估计方差的倒数对每个估计量进行加权，并调整为使权重之和为1，如方程（14.18）所示。正如根据最小二乘估计的性质所预期的那样，（a）中约束最小二乘组合方法的风险在不同模型设计之间是平坦的；对于 $m=3$，该方法的风险为1.02，而对于 $m=10$，风险为1.1。使用等权重的组合的风险也符合预期。当真实权重彼此相等时 $(\alpha =0)$，该方案无需估计误差即可获得最优权重。然而，随着最优权重变得更加分散，等权重组合方法的风险由于MSE的偏差成分而上升。将等权重的更好实证表现归因于避免估计误差的论点依赖于权重足够接近相等，从而使得偏差成分不会超过因无需用数据估计权重而减少方差成分所带来的收益。

图14.7：不同组合方案的风险。

图14.7中第二行的面板展示了随着α沿横轴变化，Bates-Granger最优权重如何开始分散。

随着α上升，对等权重的Wald检验的统计量大小会增加到通常会拒绝该约束的程度。图14.7的第三行说明了这一点。值得注意的是，对等权重的检验需要以相当高的检验功效进行拒绝，然后等权重组合才开始比依赖估计权重的组合方案产生更高的风险。对于 m = 10，权重必须足够分散，使得等权重检验的功效约为 60%。在这种情况下，此时的最优权重相当分散。将估计权重向等权重收缩（我们模拟中的组合方案 (c)）会产生预期的效果，其风险通常介于该收缩方案所基于的两种基础方法的风险之间。然而，收缩组合方法并不一致地优于估计权重或施加等权重。最后，忽略相关性而仅使用预测误差的方差（组合方案 (d)）在这些模拟中并不会产生特别有吸引力的风险特征。

在解释这些结果时，应牢记蒙特卡洛研究揭示了参数空间中几个选定点的风险，但往往对选择不同组合方案所涉及的权衡提供非常不完整的图景。尽管如此，我们认为从这些模拟中可以稳妥地得出结论：没有任何一种组合方法能够普遍产生最低的风险。此外，哪种方法表现最佳将取决于真实的数据生成过程，而该过程当然是未知的。试图在使用估计权重和等权重之间进行选择的混合方法并不一致地优于其所基于的基础方法。