14.2.3 预测组合之谜

14.2.3 预测组合之谜

实证研究经常发现，与依赖于估计组合权重的更复杂的组合方案相比，简单的等权重预测组合表现良好。这一发现被称为预测组合之谜。引用 Smith and Wallis (2009) 的话："为什么在基于均方预测误差的点预测组合的比较中……简单的等权重平均经常优于更复杂的加权方案。" 由于 Bates and Granger (1969) 的最优组合方案在均方误差损失下相当于受约束最小二乘法，如此备受推崇的方法所提供的组合权重却往往不如简单地对预测取平均，确实令人费解。

尽管 Bates and Granger (1969) 的最小二乘组合权重在总体上是最优的，但根据数据构造权重所产生的估计误差意味着在有限样本中无法达到最优损失。考虑均方误差损失下无偏预测的组合。最优组合权重的总体损失预计小于使用等权重的损失，即 $({\iota }_m^{\prime }{\Sigma }_e^{-1}{\iota }_m{)}^{-1}<m^{-2}({\iota }^{\prime }{\Sigma }_e\iota )$。然而，$({\iota }_m^{\prime }{\hat{\Sigma }}_e{\iota }_m{)}^{-1}<m^{-2}({\iota }^{\prime }{\Sigma }_e\iota )$ 未必成立。估计组合权重所引入的误差可能超过将权重设定为其最优值而非使用等权重所带来的任何收益。因此，基于估计误差的预测组合之谜解释必须表明：(a) 估计误差很大，和/或 (b) 将组合权重设定为其最优值相对于使用等权重的收益较小。

考虑证明估计误差较大。在足够大的样本中，OLS 估计误差应为 $(m-1)/T$ 量级。除非等权重接近最优，否则估计误差不太可能是完整的解释，至少在 $m/T$ 较小时如此。在许多情况下，$m/T$ 会相当小，尽管在使用调查数据的情况下，$m$ 可能相对于 $T$ 较大，因此估计误差可能很重要。

当然，如果最优总体权重足够接近等权重，估计误差仍可能超过使用估计的最优权重所带来的微小收益；有关蒙特卡洛证据，请参见 Smith and Wallis (2009)。

在实践中，我们可能预期较差的预测会被剔除，因此大多数组合中包含的预测具有相似的预测误差方差，导致 ${\Sigma }_e$ 的对角线接近常数。在这种情况下，需要相关系数之间存在较大差异才会导致偏离等权重。通常，预测组合的最大收益出现在相关系数为负时，因为此时可以以抵消个体误差的方式组合预测。然而，结果中存在一个较大且不可预测的成分，它独立于并因此在所有预测中共有，这会将相关系数推向正值。预测误差方差之间的微小差异以及正相关系数，限制了使用最优组合权重而非等权重获得大幅收益的可能性。

旨在通过较大估计误差来解释预测组合之谜的论述，反而需要模型设定错误或比估计组合权重时所假设的更复杂的数据生成过程。当数据生成过程以影响最优权重的方式随时间变化时，就会出现一种模型设定错误。在这种情况下，最优权重的全样本估计将是有偏的，偏差随着数据生成过程变化的幅度越大和越近期而增大。例如，考虑一个过程，其常数项在样本中的某一点离散地跃升到更高的值。如果我们使用参数变动之前的数据来构造预测，估计的参数将是当前参数和变动前参数的加权平均。等权重预测无需估计，因此参数变动对简单平均预测没有影响；有关此效应重要性的蒙特卡洛证据，请参见 Hendry and Clements (2004)。