14.2.2 时变组合权重的估计方法

14.2.2 时变组合权重的估计方法

如果结果与预测的联合分布随时间变化,那么让组合权重随时间变化以便适应这些变化似乎是有吸引力的。Bates 和 Granger(1969)提出了几种自适应估计方案。一种方法是使用滚动窗口估计模型在最近 $v$ 个观测值上的预测表现:

$${\hat{\omega }}_{it}=\frac{{\left({\sum }_{\tau =t-v+1}^t{e}_{i\tau }^2\right)}^{-1}}{{\sum }_{j=1}^m{\left({\sum }_{\tau =t-v+1}^t{e}_{j\tau }^2\right)}^{-1}},\text{\hspace{1em}(14.20)}$$

其中 $e_{i\tau }$ 是第 $i$ 个模型在时间 $\tau$ 的预测误差。方程(14.20)当然只是方程(14.18)中权重的局部估计。使用较小的 $v$ 值意味着更侧重于模型最近的预测记录。为了考虑用于估计的数据较少这一问题,(14.20)通过忽略预测误差之间的相关性来简化估计问题。

或者,可以通过使用以下基于(14.9)的滚动窗口估计方案来考虑预测误差之间的相关性:

$$\begin{array}{c}{\hat{\omega }}_t={\hat{\Sigma }}_{et}^{-1}{\iota }_m/({\iota }_m^{\prime }{\hat{\Sigma }}_{et}^{-1}{\iota }_m),\\ {\hat{\Sigma }}_{et}[i,j]=v^{-1}{\sum }_{\tau =t-v+1}^t{e}_{i\tau }{e}_{j\tau }^{\prime }.\end{array}\text{\hspace{1em}(14.21)}$$

第三种自适应更新方案使用平滑参数 $\lambda \in (0,1)$ 来对较早的预测表现进行折现:

$${\hat{\omega }}_{it}=\lambda {\hat{\omega }}_{it-1}+(1-\lambda )\frac{{\left({\sum }_{\tau =t-v+1}^t{e}_{i,\tau }^2\right)}^{-1}}{{\sum }_{j=1}^m{\left({\sum }_{\tau =t-v+1}^t{e}_{j,\tau }^2\right)}^{-1}}.\text{\hspace{1em}(14.22)}$$

$\lambda$ 越接近于 1,组合权重就越平滑。

Yang(2004)提出了一种旨在通过最小化加权 MSE 测度来识别最佳预测的算法。假设先验相等、误差服从正态分布,以及递归更新的误差方差估计(例如,${\hat{\sigma }}_{it}^2={\sum }_{\tau =1}^{t-1}{e}_{i\tau }^2/(t-1)$),通过指数重加权(AFTER)算法得到的聚合预测的权重为:

$${\omega }_{it}=\frac{{\omega }_{i1}\left({\prod }_{\tau =1}^{t-1}{\hat{\sigma }}_{i\tau }^{-1}\right)\exp \left(-\frac{1}{2}{\sum }_{\tau =1}^{t-1}{e}_{i\tau }^2/{\hat{\sigma }}_{i\tau }^2\right)}{{\sum }_{j=1}^m\left({\omega }_{j1}{\prod }_{\tau =1}^{t-1}{\hat{\sigma }}_{j\tau }^{-1}\exp \left(-\frac{1}{2}{\sum }_{\tau =1}^{t-1}{e}_{j\tau }^2/{\hat{\sigma }}_{j\tau }^2\right)\right)},\text{\hspace{1em}(14.23)}$$

其中 $i=1,\dots ,m$ 且 $\tau \ge 1$。请注意,该方案相对于估计方差 ${\hat{\sigma }}_{it}^2$ 对预测误差进行加权,${\hat{\sigma }}_{it}^2$ 的值越小,权重就越大。这也意味着相对于预期方差 ${\hat{\sigma }}_{it}^2$ 较大的预测误差可能导致权重的大幅下降。在对专业预测者调查的一项实证研究中,Lahiri、Peng 和 Zhao(2013)发现,与(14.14)等最小二乘法相比,在出现意外较大的平方预测误差之后,该方法对单个调查参与者预测的权重调整更为激进。

预测组合在实证上可以表现良好,因为它们针对模型不稳定性或 Hendry 和 Clements(2004)所考虑的外部结构突变类型提供了保障。Elliott 和 Timmermann(2005)在实证上允许来自调查和时间序列模型的预测组合中存在区制切换,并发现了强有力的证据表明底层预测的相对表现随时间变化。Aiolfi 和 Favero(2005)研究了多种模型股票收益预测的差异,并将其与模型不确定性联系起来。

进一步阐明这一点,Stock 和 Watson(2004)的实证组合研究表明,组合预测的表现往往比单个预测更为稳定。有趣的是,试图明确建模组合权重时变的方法往往表现不佳,这表明区制切换或模型"崩溃"可能难以预测,甚至难以随时间追踪。