14.2.1 基于均方误差损失的预测组合权重估计

14.2.1 均方误差损失下预测组合权重的估计

在均方误差损失下估计组合权重的方法多种多样。之所以存在如此众多的方法，根本原因在于构建预测时存在的若干前述问题，即估计误差的作用、缺乏单一最优估计方案，以及简单方法在实践中难以被超越这一经验观察。

一个常见的基准是使用预测的简单等权重平均：

$$f^{\mathrm{ew}}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{f}_i.\text{\hspace{1em}(14.12)}$$

这种方法的一个优点是不会产生估计误差，因为组合权重是人为施加而非估计得到的。鉴于通常对组合权重的限制，这一点具有明显的直觉吸引力。当随时间构建预测组合时，如果所组合的预测面板维度发生变化，或者只有非常短的预测时间序列可用，该方法同样具有吸引力。关于离群预测的顾虑可以通过使用中位数预测或截尾均值来应对——假设 $m$ 足够大——以代替均值。

截尾均值的计算方法如下。假设预测已按从小到大排序为 $f_1,\dots ,f_m$。截去比例为 $\rho$ 的最小和最大预测后，截尾均值计算如下：

$$f^{\mathrm{trim}}=\frac{1}{\lfloor m(1-2\rho )\rfloor }\sum _{j=\lfloor \rho m\rfloor +1}^{\lfloor m(1-\rho )\rfloor }{f}_j,\text{\hspace{1em}(14.13)}$$

其中 $\lfloor .\rfloor$ 表示向下取整。

这些简单稳健估计方法的一个自然替代方案是使用样本估计量来估计式 (14.9) 中的总体最优权重。Bates 和 Granger (1969) 建议直接用相应的样本估计量替换最优权重公式 (14.9) 中未知的方差和协方差。更一般地，对于一个 $(m\times 1)$ 维的预测向量，可以在组合权重公式 (14.9) 中使用估计的方差—协方差矩阵。该代入解实际上与从如下回归中得到的权重的约束最小二乘估计量在数值上完全相同：将被解释变量对预测变量做无截距项的回归，并施加系数之和为 1 的约束 $({\hat{\omega }}_{ols}^{\prime }{\iota }_m=1)$：

$$\begin{array}{r}{f}^c={\hat{\omega }}_{\mathrm{ols}}^{\prime }f=({\iota }^{\prime }{\hat{\Sigma }}_e^{-1}\iota {)}^{-1}{\iota }^{\prime }{\hat{\Sigma }}_e^{-1}f,\end{array}\text{\hspace{1em}(14.14)}$$

其中 $f$ 是预测向量，${\hat{\Sigma }}_{\epsilon }$ 是协方差矩阵 $E\left[e{e}^{\prime }\right]$ 的通常样本估计量，例如 $T^{-1}{\sum }_{t=0}^{T-1}{e}_{t+1}{e}_{t+1}^{\prime }$。

为了理解 Bates 和 Granger 方法与约束最小二乘之间的等价性，考虑将结果变量对预测变量的线性回归：

$$y=f^{\prime }\omega +\epsilon .\text{\hspace{1em}(14.15)}$$

重新整理可得

$$\begin{array}{rl}& y=(f-y{\iota }_m^{\prime }+y{\iota }_m^{\prime })\omega +\epsilon \\ & =-e\omega +y{\iota }_m^{\prime }\omega +\epsilon ,\\ s\circ & (1-{\omega }^{\prime }{\iota }_m)y=-e\omega +\epsilon ,\end{array}$$

其中 $e$ 是预测误差向量。在 ${\omega }^{\prime }{\iota }_m=1$ 的约束下，可得 $\epsilon =e\omega$。因此，在权重之和为 1 的约束下最小化残差平方和等同于最小化 ${\omega }^{\prime }{e}^{\prime }e\omega$，从而与 Bates 和 Granger (1969) 的结果一致；参见 Granger 和 Ramanathan (1984)。^3 若怀疑各预测存在偏差，则可在回归中纳入一个常数项。

最小二乘组合权重的各种变体与一般数据下的线性预测模型的变体类似，都围绕着在模型空间的部分区域上降低风险这一核心问题，其中风险来源于构建权重时涉及的估计误差。一种可能的方法是使用贝叶斯或经验贝叶斯方法来估计组合权重。Clemen 和 Winkler (1999) 提出了一种这样的方法，其依赖于对 ${\Sigma }_e$ 使用逆 Wishart 分布。

对先验和模型参数的不同假设会产生不同的估计量。Diebold 和 Pauly (1990) 提出了贝叶斯和经验贝叶斯收缩型方法。利用第 5 章的结果，对于高斯模型和高斯先验，贝叶斯估计量给出的预测组合权重是先验 ${\omega }_P$ 与最小二乘估计量 ${\hat{\omega }}_{\mathrm{ols}}$ 的加权平均。如上所述，自然的无信息先验是赋予各预测相等权重，因此假设 $m$ 个预测的先验权重为 ${\omega }_P={\iota }_m/m$。在第 5 章讨论的 Zellner (1986b) 的 $g$ 先验下，其中 $g$ 是控制收缩程度的标量先验，$g$ 值较大意味着精度较高，并向先验均值 ${\iota }_m/m$ 产生强收缩，组合权重的后验均值为

$$\hat{\omega }=m^{-1}{\iota }_m+\frac{1}{1+g}\left({\hat{\omega }}_{\mathrm{ols}}-m^{-1}{\iota }_m\right),\text{\hspace{1em}(14.16)}$$

其中 ${\hat{\omega }}_{\mathrm{ols}}$ 是 (14.14) 中 $\omega$ 的OLS估计。更一般地，假设 $\omega$ 服从正态先验 $\mathrm{N}({\omega }_P,{\tau }^2(Z_f^{\prime }{Z}_f{)}^{-1})$，其中 $Z_f$ 是 (14.14) 中 $(T\times m)$ 的回归量矩阵，Diebold 和 Pauly (1990) 使用的经验贝叶斯组合权重由下式给出：

$$\hat{\omega }={\omega }_P+\frac{{\hat{\tau }}^2}{{\hat{\sigma }}^2+{\hat{\tau }}^2}\left({\hat{\omega }}_{\mathrm{ols}}-{\omega }_P\right),\text{\hspace{1em}(14.17)}$$

其中

$$\begin{array}{rl}& {\hat{\sigma }}^2=(y-Z_f{\hat{\omega }}_{\mathrm{ols}}{)}^{\prime }(y-Z_f{\hat{\omega }}_{\mathrm{ols}})/T,\\ & {\hat{\tau }}^2=({\hat{\omega }}_{\mathrm{ols}}-{\omega }_P{)}^{\prime }({\hat{\omega }}_{\mathrm{ols}}-{\omega }_P)/\mathrm{tr}(Z_f^{\prime }{Z}_f{)}^{-1}-{\hat{\sigma }}^2,\end{array}$$

其中 ${\hat{\sigma }}^2$ 是回归模型中残差方差 ${\sigma }^2$ 的估计量。方程 (14.17) 类似于组合权重的收缩型估计量。

在无数据方案（如等权重法）和试图逼近最优组合权重的方法之间，是一些在预测组合方案中使用数据但不试图渐近获得最优组合权重的方法。最简单的例子是 (14.13) 中的截尾均值，它在取剩余预测的均值之前丢弃最大和最小预测的一定比例。

另一种常用的方法简单地忽略预测误差之间的相关性，并使用与各个模型MSE值的倒数成比例的权重 ${\mathrm{MSE}}_i$：

$${\omega }_i=\frac{{\mathrm{MSE}}_i^{-1}}{{\sum }_{i=1}^m{\mathrm{MSE}}_i^{-1}}.\text{\hspace{1em}(14.18)}$$

Aiolfi 和 Timmermann (2006) 考虑了这种方法的一个变体，他们提出了一种稳健加权方案，使组合权重与预测模型的排名 ${\mathrm{Rank}}_i$ 成反比：

$${\omega }_i=\frac{{\mathrm{Rank}}_i^{-1}}{{\sum }_{i=1}^m{\mathrm{Rank}}_i^{-1}}.\text{\hspace{1em}(14.19)}$$

这里，MSE值最低的模型排名为1，MSE表现第二低的模型排名为2，依此类推。这种组合方案同样忽略了预测误差之间的相关性。

Aiolfi 和 Timmermann (2006) 还考虑了基于因子的聚类方法。如果结果变量具有因子结构，并且各个预测可以根据它们跟踪的因子进行聚类，那么在某些情况下，对聚类内的预测进行合并所损失的信息很少。他们的方法是识别一小组聚类，在每个聚类内形成等权重预测，然后对这些合并后的预测应用如 (14.14) 所示的最小二乘组合方法。