14.1.2 线指数损失下的最优组合

14.1.2 Linex 损失下的最优组合

正如损失函数的形状对最优预测很重要一样,它对预测组合问题也很重要。考虑 Linex 损失的情形:

$$L(e)=\exp (ae)-ae-1,\text{\hspace{1em}(14.10)}$$

其中 $a$ 控制对较大的正 $(a>0)$ 或较大的负 $(a<0)$ 预测误差的厌恶程度。假设预测误差向量 $e=y{\iota }_m-f$ 服从均值为零、协方差矩阵为 ${\Sigma }_e$ 的高斯分布,从而预测是无偏的。考虑线性预测组合方案

$$f^c={\omega }_0+{\omega }^{\prime }f,\mathrm{subject}\mathrm{to}{\omega }^{\prime }{\iota }_m=1。$$

我们将会看到,${\omega }_0$ 可用于捕捉一个最优偏差。利用组合的误差 $e^c=y-f^c=y-{\omega }^{\prime }f-{\omega }_0={\omega }^{\prime }e-{\omega }_0$,期望损失变为

$$E\left[L\left(e^c({\omega }_0,\omega )\right)\right]=\exp (-a{\omega }_0+\frac{a^2}{2}{\omega }^{\prime }{\Sigma }_e\omega )+a{\omega }_0-1。\text{\hspace{1em}(14.11)}$$

对 ${\omega }_0$ 求导并令其等于 $0$,我们得到

$${\omega }_0^{\ast }=\frac{a}{2}{\omega }^{\prime }{\Sigma }_e\omega 。$$

接下来,将其代入 (14.11) 中的期望损失,我们看到权重 $\omega$ 应在约束 ${\omega }^{\prime }{\iota }_m=1$ 下选择以最小化 ${\omega }^{\prime }{\Sigma }_e\omega$。这与 (14.8) 中 MSE 损失下的早期约束优化问题完全相同,因此组合权重由 (14.9) 给出。尽管最优组合权重 ${\omega }^{\ast }$ 与 MSE 损失情形下保持不变,但截距项 ${\omega }_0^{\ast }$ 反映了损失函数的形状,并且是唯一依赖于 Linex 不对称参数 $a$ 的项。最优组合具有一个偏差 $\lambda ({\iota }_m^{\prime }{\Sigma }_e^{-1}{\iota }_m{)}^{-1}/2$,该偏差反映了在最优组合权重处评估的组合预测误差的离散程度。

一般来说,MSE 损失和非对称损失下的组合权重不必相同。例如,当预测误差的分布是两个高斯分布的混合时,最优组合是关于 ${\omega }_0$ 和 $\omega$ 的 $m+1$ 个非线性方程组的解。这种分布混合的设定可用于捕捉这样一种情形:某个特定的预测仅在其他预测失效时才与结果相关,从而使该特定预测能够充当模型失效时的对冲工具。关于此点的进一步讨论,请参见 Timmermann (2006)。

14.2 预测组合权重的估计

第 14.1 节中描述的最优预测组合方法涉及预测组合的总体模型。在实践中,组合权重需要像处理常规预测问题一样,使用过去的数据进行估计。因此,本书前面讨论的所有估计问题都直接适用于组合问题。

一旦我们使用估计参数,(14.8) 这类问题的解在"风险"意义上就不再具有最优性。对于任何预测组合问题,使用估计参数时通常不存在单一的最优预测方法。不同估计方法的风险函数通常以这样的方式依赖于数据生成过程:对于某些过程我们倾向于选择一种方法,而对于其他数据生成过程则选择不同的方法。

将预测视为数据意味着所有与我们如何从数据中估计预测模型相关的问题都适用且相关。因此,许多方法可用于估计组合权重,例如基于损失最小化一阶条件的 M 估计或矩方法、基于最小二乘参数估计的 plug-in 方法,或收缩方法。文献中关于预测组合的许多结果只是将标准估计方法直接应用于预测组合问题。

预测组合中使用的"数据"并非随机抽取的结果,而是可以被视为对结果的无偏(即便不一定精确)的预测。这表明应对组合方案施加特殊的约束。具体而言,在 MSE 损失下,线性组合方案可能将组合权重限制为加和为 1 且非负,即 ${\omega }_i\in [0,1]$。等权重等简单组合方案满足这些约束,且不需要估计任何参数。因此,等权重可被视为在未观测到任何数据时的一个合理先验,其作用类似于在预测模型中对数据施加零权重。