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13.7 连接函数

13.7 联结函数

联结函数为多元分布函数或密度函数提供了一种替代表示方式，在生成预测时可能有所帮助。设 $y_{t + 1} = (y_{1 t + 1}, \dots, y_{n t + 1})$ 具有多元分布函数 $P$ 。

根据 Sklar 定理 (Sklar, 1959)，我们可以将 $P$ 分解为各个单变量边际分布 $P_{1} (y_{1 t + 1}), \dots, P_{n} (y_{n t + 1})$ 和一个 $n$ 维联结函数 $C$ ，后者捕捉了边际分布的联合分布， $P (y_{t + 1}) = C (P_{1} (y_{1 t + 1}), \dots, P_{n} (y_{n t + 1}))$ 。虽然 $P$ 和 $C$ 都具有 $n$ 维输入，但关键区别在于联结函数中的参数具有均匀边际。每个 $P_{i} (y_{i})$ 函数都是概率积分变换（见第 18 章），因此将具有均匀边际。

联结函数实际上是一个具有均匀 (0,1) 边际的多元累积分布函数。直观地说，它包含了各个变量的边际分布中未捕捉到的所有相依性信息。联结函数的一个优点是它们在边际的递增连续变换下具有不变性。因此，如果 $(y_{1 t + 1}, \dots, y_{n t + 1})^{'}$ 具有联结函数 $C$ ，且 $G_{1}, \dots, G_{n}$ 是递增连续函数，则 $(G_{1} (y_{1 t + 1}), \dots, G_{n} (y_{n t + 1}))^{'}$ 也具有联结函数 $C$ ；参见 Embrechts, McNeil 和 Straumann (2002)。

如 (13.52) 式所示的多元 ARCH 模型通过相关系数捕捉变量间的相依关系。这在包括高斯族在内的椭圆分布情形下是足够的。但在此类受限的密度函数族之外，相关性不足以捕捉变量间的相依关系。特别地，虽然两个随机变量独立意味着它们不相关（线性相关系数为零），但零相关在一般情况下并不意味着独立。例如，若 $y \sim N (0, 1)$ ，则 $y$ 和 $y^{2}$ 不相关，但显然不是相互独立的。

对于具有变量分布条件动态的预测情形，最重要的是给定一组变量 $Z_{t}$ 条件下的联结函数表示。假设 $y_{t + 1} ∣ Z_{t} \sim P_{t + 1∣ t} (y_{t + 1})$ ，其边际分布为 $P_{i t + 1∣ t} (y_{i t + 1})$ 。则条件联结函数表示的形式为（参见 Patton, 2006）：

$P_{t + 1∣ t} (y_{t + 1}) = C_{t + 1∣ t} (P_{1 t + 1∣ t} (y_{1 t + 1}), \dots, P_{n t + 1∣ t} (y_{n t + 1})) 。$

从预测的角度来看，(13.57) 式对联合分布的分解（分解为边际分布和联结函数）具有潜在的好处。例如，边际分布可以利用丰富的单变量分布估计文献来较为容易地估计。两阶段估计方法可以首先估计边际分布，然后将 $u_{i t + 1∣ t} = P_{i t + 1∣ t} (y_{i t + 1})$ 作为输入用于条件联结函数模型。这里的一种选择是非参数地估计边际分布，并对联结函数拟合一个参数模型。鉴于边际分布是单变量的，因而比 $n$ 维联结函数更易于使用非参数方法建模，因此这种方法具有吸引力。联结函数方法也可应用于多元密度建模。将单变量条件密度估计 $p_{i t + 1∣ t} (y_{i t + 1})$ 乘以联结函数估计，得到多元联合条件密度 $p_{t + 1∣ t} (y_{t + 1})$ ：

$p_{t + 1∣ t} (y_{t + 1}) = c_{t + 1∣ t} (u_{1 t + 1}, \dots, u_{n t + 1}) \times p_{1 t + 1∣ t} (y_{1 t + 1}) \times \dots \times p_{n t + 1∣ t} (y_{n t + 1}) 。$

此类分解在以下情形中可能特别有用：当重点是对高维变量向量（即当 $n$ 非常大时）建模相依关系时。

(13.57) 式联结函数表示的另一个优点是，它在将众所周知的边际分布（例如两种资产收益的条件高斯分布和偏斜 t 分布）与完全不同的联结函数相配对时提供了很大的灵活性，例如 Gumbel 联结函数或 logistic 联结函数，其形式为：

$C^{Gu} (u_{1 t + 1}, \dots, u_{n t + 1} ∣ β) = exp [- {(- lo g (u_{1 t + 1}))^{1/ β} + \dots + (- lo g (u_{n t + 1}))^{1/ β}}^{β}],$

其中 $0 < β \leq 1$ 。

Patton (2013) 综述了联结函数模型的实证应用。大多数联结函数的研究都应用于金融数据，涉及风险管理、衍生品定价和投资组合选择等众多领域。实践中，上述优势是否真正转化为联结函数模型比基于传统多元分布的预测产生更好的多元预测结果，这一问题尚无定论。当然，鉴于联结函数和多元分布函数表示之间的一一对应关系，最终哪种方法最有用可能是一个便利性的问题，即哪种方法最易于估计和实施。例如，二元高斯联结函数的形式为

$C_{ρ} (y_{1}, y_{2}) = \int_{- \infty}^{Φ^{- 1} (y_{1})} \int_{- \infty}^{Φ^{- 1} (y_{2})} \frac{1}{2 π ( 1 - ρ ^{2} ) ^{1/2}} exp (\frac{- ( s ^{2} - 2 ρ s t + t ^{2} )}{2 ( 1 - ρ ^{2} )}) d s d t, (13.59)$

因此它仅依赖于一个相关系数参数 $ρ$ 。这里 $Φ$ 是标准高斯随机变量的单变量累积分布函数。如果边缘分布也是高斯分布，那么使用 (13.59) 中的连接函数表示相对于直接使用二元正态分布函数并没有明显的优势。

练习题

根据斯克拉定理，多元分布函数 $P (y_{t + 1})$ 可以分解成什么？

A. 只有连接函数

C

B. 只有单变量边缘分布

P_{1} (y_{1 t + 1}), \dots, P_{n} (y_{n t + 1})

C. 单变量边缘分布和连接函数

C (P_{1} (y_{1 t + 1}), \dots, P_{n} (y_{n t + 1}))

D. 变量的联合分布，不做任何分解

连接函数 $C$ 中参数的一个关键属性是什么？

A. 它们具有非均匀边缘分布

B. 它们在区间

(0, 1)

上具有均匀边缘分布

C. 它们总是呈正态分布

D. 它们相互独立

若 $(y_{1 t + 1}, \dots, y_{n t + 1})^{'}$ 具有连接函数 $C$ ，且 $G_{1}, \dots, G_{n}$ 是递增连续函数，那么 $(G_{1} (y_{1 t + 1}), \dots, G_{n} (y_{n t + 1}))^{'}$ 具有什么性质？

A. 它具有与

C

不同的连接函数

B. 它没有连接函数

C. 它也具有连接函数

C

D. 它的连接函数取决于函数

G_{i}

以下关于独立性与相关性关系的陈述中，哪些是正确的？

A. 两个随机变量的独立性意味着它们不相关

B. 不相关的随机变量总是独立的

C. 相关系数为零通常并不意味着独立

D. 若

y \sim N (0, 1)

，则

y

和

y^{2}

独立

E. 若

y \sim N (0, 1)

，则

y

和

y^{2}

不相关

从预测的角度来看，将联合分布分解为边缘分布和连接函数有哪些潜在的好处？（选择所有适用的选项）

A. 边缘分布难以估计

B. 利用大量关于单变量分布估计的文献，边缘分布可能比较容易估计

C. 可以使用两阶段估计方法，先估计边缘分布，然后将它们作为输入应用到条件连接函数模型中

D. 连接函数方法只能应用于单变量密度建模

E. 连接函数方法可以通过将单变量条件密度估计与连接函数估计相乘，应用于多元密度建模

在考虑给定一组变量 $Z_{t}$ 时 $y_{t + 1}$ 的条件分布时，条件连接函数表示形式为 $P_{t + 1∣ t} (y_{t + 1}) = C_{t + 1∣ t} (P_{1 t + 1∣ t} (y_{1 t + 1}), \dots, P_{n t + 1∣ t} (y_{n t + 1}))$ 。

诸如（13.52）这样的多元ARCH模型可以通过变量间的相关性来捕捉所有类型的变量间依赖关系。

连接函数是一种多元累积密度函数，在区间上具有均匀的边际分布___。

若 $e_{t + 1} (β) = y_{t + 1} - q_{α} (y_{t + 1} ∣ Z_{t}, β)$ 是预测误差，且 $1 (\cdot)$ 是指示函数，则“tick”损失函数为 $L_{α} (e_{t + 1} (β)) = (α - 1 (e_{t + 1} (β) < 0)) e_{t + 1} (β)$ 。当使该损失函数的期望值相对于预测 $q_{α} (y_{t + 1} ∣ Z_{t}, β)$ 最小化时，一阶条件给出收益分布的 $α \cdot$ 分位数， $q_{α} (y_{t + 1} ∣ Z_{t}, β) = P_{t + 1∣ t}^{- 1} (α)$ ，其中 $P_{t + 1∣ t}$ 是 $e_{t + 1}$ 的条件分布函数。在此损失函数下的最优预测是___。

解释在预测的背景下，如何使用两阶段估计方法处理连接函数。

以下关于连接函数（Copulas）与分位数预测之间关系的陈述中，哪些是正确的？（选择所有适用的选项）

A. 连接函数可用于模拟变量的联合分布，这对于构建多元分位数预测非常有用

B. 在使用连接函数时，“tick”损失函数与分位数预测无关

C. 条件连接函数表示法可用于推导多元分布的条件分位数

D. 连接函数仅适用于单变量分位数预测

E. 在“tick”损失函数下的最优预测与条件分位数相关，且连接函数有助于表示此类预测的联合分布

描述连接函数在捕捉多元分布中变量间依赖结构时所起的作用。

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