13.6 多元波动率模型

13.6 多元波动率模型

到目前为止，我们关注的是单变量密度预测问题。然而，一些应用需要预测两个或更多变量的联合分布。例如，投资者可能对多个标的资产的期权定价或在投资组合层面针对多个风险资产计算风险价值感兴趣。在这些情况下，结果将取决于多个标的变量之间的相依程度。本节讨论建模多元波动率的不同方法，下一节则涵盖连接函数（copula）建模。

首先，考虑将条件位置-尺度模型扩展到多元情形，通过对 $(n\times 1)$ 维变量向量 $y_{t+1}$ 的条件均值和波动率进行建模：

$$y_{t+1}={\mu }_{t+1|t}(\theta )+H_{t+1|t}^{1/2}(\theta ){\eta }_{t+1},{\eta }_{t+1}\sim (0,I_n),$$

其中 $\theta$ 是底层参数的向量。这里的 $H_{t+1|t}^{1/2}$ 是一个 $(n\times n)$ 正半定矩阵，具有性质 $\mathrm{var}(y_{t+1}|Z_t)=H_{t+1|t}=H_{t+1|t}^{1/2}(H_{t+1|t}^{1/2}{)}^{\prime }$，

其中 $H_{t+1|t}^{1/2}$ 可以从 $H_{t+1|t}$ 的 Cholesky 分解获得。问题在于当 $n>1$ 时如何最好地建模 $H_{t+1|t}$。Bauwens、Laurent 和 Rombouts (2006) 综述了关于该问题的大量文献，我们仅从他们的综述中重点介绍几个关键模型。

所谓的 BEKK(1,1,1) 设定具有如下形式：

$$H_{t+1|t}=C^{\prime }C+A^{\prime }{\epsilon }_t{\epsilon }_t^{\prime }A+G^{\prime }{H}_{t|t-1}G,\text{\hspace{1em}(13.49)}$$

其中 $C$、$A$、$G$ 是 $(n\times n)$ 矩阵，且 $C$ 是上三角矩阵，${\epsilon }_t=H_{t|t-1}^{1/2}(\theta ){\eta }_t$。该设定有 $n(5n+1)/2$ 个参数，并且可以直接推广以允许 ${\epsilon }_t$ 和 $H_{t|t-1}$ 的更多滞后项。

通过假设条件方差中存在因子结构，可以得到一个简约模型。例如，Lin (1992) 研究了如下形式的 K 因子 GARCH 模型：

$$H_{t+1|t}=C^{\prime }C+\sum _{k=1}^K{\lambda }_k{\lambda }_k^{\prime }\left({\alpha }_k^2{\omega }_k^{\prime }{\epsilon }_t{\epsilon }_t^{\prime }{\omega }_k+{\beta }_k^2{\omega }_k^{\prime }{H}_{t|t-1}{\omega }_k\right),\text{\hspace{1em}(13.50)}$$

其中 ${\omega }_k^{\prime }\iota =1$ 作为识别约束。只要 $C^{\prime }C$ 正定，$H_{t|t-1}$ 就是满秩的。该设定有 $n(n+5)/2$ 个参数。

不仅方差参数可能随时间变化，相关系数参数也可能随时间变化。早期的工作如 Bollerslev (1990) 假设两两相关性是常数而波动率随时间变化：

$$\begin{array}{l}{H}_{t+1|t}=D_{t+1|t}R{D}_{t+1|t},\\ D_{t+1|t}=\mathrm{diag}(h_{11,t+1|t}^{1/2},\dots ,h_{nn,t+1|t}^{1/2}).\end{array}\text{\hspace{1em}(13.51)}$$

这里 $h_{ii,t+1|t}$ 可以从一个单变量 GARCH 模型获得，相关性矩阵 $R$ 的元素为 $R_{ij}={\rho }_{ij}$，其中 ${\rho }_{ii}=1$，因此 $H_{t+1|t}$ 的 $(i,j)$ 元素具有形式 ${\rho }_{ij}\sqrt{h_{ii,t+1|t}{h}_{jj,t+1|t}}$。在该模型中条件相关性是常数，但由于方差随时间变化，条件协方差会随时间变化。

近期的工作侧重于建模时变相关性。例如，由 Engle 和 Sheppard (2001) 以及 Engle (2002) 提出的多元动态条件相关 GARCH 模型具有如下形式 $y_{t+1}\sim \mathrm{N}(0,H_{t+1|t})$

$$H_{t+1|t}\equiv D_{t+1|t}{R}_{t+1|t}{D}_{t+1|t},\text{\hspace{1em}(13.52)}$$

其中 $D_{t+1|t}$ 是一个 $(n\times n)$ 对角矩阵，其对角元素为时变标准差，第 $i$ 个对角元素为 $\sqrt{h_{ii,t+1|t}}$，而 $R_{t+1|t}$ 现在是一个时变相关性矩阵。

$D_{t+1|t}$ 的对角元素被假设由单变量 GARCH 过程生成：

$$h_{ii,t+1|t}={\omega }_i+\sum _{j=1}^{q_i}{\alpha }_{ij}{\epsilon }_{i,t+1-j}^2+\sum _{p=1}^{p_i}{\beta }_{ip}{h}_{ii,t+1-p|t-p},\text{\hspace{1em}(13.53)}$$

而相关性中的动态变化具有如下形式：

$$Q_{t+1|t}=\left(1-\sum _{j=1}^J{\alpha }_j-\sum _{k=1}^K{\beta }_k\right)\bar{Q}+\sum _{j=1}^J{\alpha }_j{\epsilon }_{t+1-j}{\epsilon }_{t+1-j}^{\prime }+\sum _{k=1}^K{\beta }_k{Q}_{t+1-k|t-k},\text{\hspace{1em}(13.54)}$$

$$R_{t+1|t}=(Q_{t+1|t}^{\ast }{)}^{-1}{Q}_{t+1|t}(Q_{t+1|t}^{\ast }{)}^{-1}.$$

这里 $\bar{Q}$ 是标准化残差的无条件协方差，${\alpha }_j$ 项衡量先前冲击的新闻影响，${\beta }_k$ 项捕捉相关性的持续性。最后，$Q_{t+1|t}^{\ast }$ 是一个如下形式的对角矩阵：

$$Q_{t+1|t}^{\ast }=\left(\begin{array}{ccccc}\sqrt{q_{11,t+1|t}}& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& \sqrt{q_{22,t+1|t}}& 0& \cdots & 0\\ & & \ddots & & ⋮\\ ⋮& & ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & \sqrt{q_{nn,t+1|t}}\end{array}\right),\text{\hspace{1em}(13.55)}$$

这样，动态条件相关矩阵 $R_{t+1|t}$ 的各元素可以写为 ${\rho }_{ijt+1|t}=q_{ijt+1|t}/\sqrt{q_{iit+1|t}{q}_{jjt+1|t}}$。

这些模型的估计采用最大似然方法。例如，动态条件相关模型的对数似然函数为

$$\begin{array}{l}\mathrm{LL}=-\frac{1}{2}\sum _{t=1}^T(n\log (2\pi )+\log (|H_{t\mid t-1}|)+y_t^{\prime }{H}_{t\mid t-1}^{-1}{y}_t)\\ =-\frac{1}{2}\sum _{t=1}^T(n\log (2\pi )+2\log (|D_{t\mid t-1}|)+\log (|R_{t\mid t-1}|)+{\epsilon }_t^{\prime }{R}_{t\mid t-1}^{-1}{\epsilon }_t),\end{array}$$

其中 ${\epsilon }_t\sim \mathrm{N}(0,R_{t\mid t-1})$ 是标准化残差。Engle 和 Sheppard 倡导采用两阶段 QMLE 估计方法。在第一阶段，对每个残差序列估计单变量 GARCH 模型，并利用估计值通过其标准差对残差进行标准化。在第二阶段，使用标准化后的残差来估计动态相关性。

相关文献也考虑了多变量分位数模型。例如，White Jr.、Kim 和 Manganelli（2008）使用多分位数 CAViaR 设定来研究每日股票收益的条件偏度动态，而 Cappiello 等（2014）使用时变条件分位数来研究拉丁美洲股票市场收益的共同变动。