13.5.1 估计

13.5.1 估计

遵循 Koenker 和 Bassett（1978）的做法，分位数模型的参数可以通过用所谓的"倾斜"损失函数替代大多数实证可预测性研究中所采用的常规二次损失函数来估计，

$$L_{\alpha }(e_{t+1}(\beta ))=(\alpha -1(e_{t+1}(\beta )<0))e_{t+1}(\beta ),\text{\hspace{1em}(13.47)}$$

其中 $e_{t+1}(\beta )=y_{t+1}-q_{\alpha }(y_{t+1}|Z_t,\beta )$ 是预测误差，$1(\cdot )$ 是示性函数。在该目标函数下，最优预测为条件分位数。为理解这一点，请注意，关于预测值 $q_{\alpha }(y_{t+1}|Z_t,\beta )$ 最小化 (13.47) 期望值的一阶条件即为收益率分布的 $\alpha$ 分位数，

$$q_{\alpha }(y_{t+1}|Z_t,\beta )=P_{t+1|t}^{-1}(\alpha ),\text{\hspace{1em}(13.48)}$$

其中 $P_{t+1|t}$ 是 $e_{t+1}$ 的条件分布函数。事实上，为使预测能够由 $y$ 的条件 $\alpha$ 分位数表示，预测者的损失需要采用略为更一般的形式：

$$L(f,y)=[\alpha -1(G(y)\le G(f))]\left(G(y)-G(f)\right),$$

其中 $G$ 是一个严格递增函数；参见 Komunjer（2013）中的讨论。在 (13.47) 的损失函数下，估计可通过求解一个线性规划问题获得。

相反地，形如 (13.46) 的设定关于参数 $\theta$ 是高度非线性的函数，因此不适合通过线性规划方法求解。可以改用马尔可夫链蒙特卡洛方法或极小极大方法；进一步的讨论参见 Komunjer（2013）。

关于构造分位数预测的各种方法表现的实证证据见于诸多研究。Kuester、Mittnik 和 Paolella（2006）考察了 NASDAQ 综合指数在 30 年间的收益率。他们发现，GARCH 设定通常低估了极端收益率发生的概率，尤其在假定创新项服从高斯分布的情况下。若改假定创新项服从偏斜 t 分布，则结果会有一定改善。Bao、Lee 和 Saltoglu（2006）报告了在 1997–1998 年亚洲危机期间对五个亚洲股票市场拟合 CaViaR 模型所存在的不足，尽管这些模型在危机前的表现要好得多。