13.5 区间和分位数预测

13.5 区间预测与分位数预测

区间预测介于密度预测和点预测之间。它们通常提供关于最可能结果的信息以及围绕预测的不确定性程度，分别通过区间预测的中心和宽度来衡量，前提假设是对称分布。

例 13.5.1（高斯变量的条件区间预测）。 对于条件位置-尺度模型，$y_{t+1}={\mu }_{t+1|t}+{\sigma }_{t+1|t}{\eta }_{t+1}$，${\eta }_{t+1}\sim P_{\eta }(0,1)$，一个典型的区间预测是结果 $y_{t+1}$ 落在区间 $[p_{t+1|t}^l(\alpha ),p_{t+1|t}^u(\alpha )]$ 内，对应某个概率 $1-\alpha$，$\alpha \in (0,1/2)$，其中

$$\begin{array}{rl}{p}_{t+1|t}^l& ={\mu }_{t+1|t}+{\sigma }_{t+1|t}{P}_{\eta }^{-1}(\alpha /2),\\ p_{t+1|t}^u& ={\mu }_{t+1|t}+{\sigma }_{t+1|t}{P}_{\eta }^{-1}(1-\alpha /2).\end{array}\text{\hspace{1em}(13.43)}$$

如果 $P_{\eta }$ 是高斯分布且 $\alpha =0.05$，则简化为

$$\begin{array}{rl}{p}_{t+1|t}^l& ={\mu }_{t+1|t}-1.96{\sigma }_{t+1|t},\\ p_{t+1|t}^u& ={\mu }_{t+1|t}+1.96{\sigma }_{t+1|t}.\end{array}$$

例 13.5.2（使用两段正态分布的区间预测）。 如果密度服从 (13.29) 中的两段正态分布，均值为 ${\mu }_{t+1|t}$，均值以下和以上的方差分别为 ${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$，则 $\alpha$ 分位数 $q_{\alpha }$ 为

图 13.9： 由两段指数密度生成的扇形图，显示了预测密度的中位数以及 75% 和 90% 范围。

$$q_{\alpha }=\{\begin{array}{ll}{\mu }_{t+1|t}+{\sigma }_1{\Phi }^{-1}\left(\frac{\alpha }{C\sqrt{2\pi }{\sigma }_1}\right)& \text{for }\alpha \le \frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_1+{\sigma }_2},\\ {\mu }_{t+1|t}+{\sigma }_2{\Phi }^{-1}\left(\frac{\alpha +C\sqrt{2\pi }{\sigma }_2-1}{C\sqrt{2\pi }{\sigma }_2}\right)& \text{for }\alpha >\frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_1+{\sigma }_2},\end{array}$$

其中 $C=\sqrt{2/\pi }({\sigma }_1+{\sigma }_2{)}^{-1}$；参见 Banerjee 和 Das (2011)。

图 13.9 绘制了截至 2014 年第三季度季度通胀率的扇形图，使用了两段指数分布拟合季度通胀数据。实线追踪了截至 2014 年第三季度（前 24 个观测）六年间实际通胀率的变动，并对随后三年（12 个季度）的点预测进行追踪。不同的阴影表示未来通胀率的 5% 概率范围。虽然通胀的点预测相当平滑，但周围存在相当大的不确定性，特别是在超过一年的预测期内。

为了构建位置-尺度模型的区间预测，需要三个估计量，即条件均值的估计 ${\mu }_{t+1|t}$、条件波动率的估计 ${\sigma }_{t+1|t}$，以及归一化新息分布函数 $P_{\eta }$ 的估计，以便能够计算 $P_{\eta }^{-1}(\alpha /2)$ 和 $P_{\eta }^{-1}(1-\alpha /2)$。这里 $P_{\eta }^{-1}$ 是分位数函数。Hansen (2006) 讨论了在构建区间预测时如何考虑参数估计的不确定性。

许多参数化密度预测模型所产生的分位数预测易于推导。例如，具有高斯新息的条件位置-尺度模型

意味着形如下式的分位数：

$$q_{\alpha }(y_{t+1}|z_t)={\mu }_{t+1|t}+{\sigma }_{t+1|t}{P}_{\mathrm{N}}^{-1}(\alpha ),\alpha \in (0,1),\text{\hspace{1em}(13.44)}$$

其中 $P_{\mathrm{N}}$ 是标准正态分布函数，$P_{\mathrm{N}}^{-1}$ 是其对应的分位数函数。

此方法的替代方案是分别对各个分位数进行建模。这种方法在金融领域的风险价值（VaR）计算中尤其受到关注。根据巴塞尔委员会的建议，银行应在其风险管理实践中报告 VaR 估计值。VaR 估计本质上就是左尾分位数预测，因此要求银行能够预测其资产价值的分位数。

个体分位数的可预测性可以通过对 $q_{\alpha }(y_{t+1}|Z_t)$（给定当前信息 $Z_t$ 下 $y_{t+1}$ 的条件分位数）建模以不同方式捕捉。由于无需指定完整的条件分布函数，因此此类回归是半参数的。通常条件分位数 $q_{\alpha }(y_{t+1}|Z_t,\beta )$ 被指定为依赖于某个未知有限维参数向量 $\beta$。给定估计值 $\hat{\beta }$，分位数预测可计算为 $q_{\alpha }(y_{t+1}|Z_t,\hat{\beta })$。例如，一个线性分位数模型的形式为

$$q_{\alpha }(y_{t+1}|Z_t,\beta )={\beta }_{0\alpha }+{\beta }_{1\alpha }{z}_t.\text{\hspace{1em}(13.45)}$$

由于斜率系数 $({\beta }_{1\alpha })$ 可以跨分位数变化，因此该模型具有相当大的灵活性，并涵盖了文献中的现有模型，包括假设分布不变的基准模型 ${\beta }_{1\alpha }=0$。

Engle 和 Manganelli (2004) 提出了允许自回归动态的分位数模型推广形式。所谓 CAViaR 模型将上一期的条件分位数和上一期实现值的绝对值 $|y_t|$ 作为预测变量。例如，Engle 和 Manganelli 的对称绝对值模型和不对称斜率模型具有如下形式：

$$\begin{array}{rl}& q_{\alpha }(y_{t+1}|Z_t)={\beta }_{0\alpha }+{\beta }_{1\alpha }{q}_{\alpha }(y_t|Z_{t-1})+{\beta }_{2\alpha }|y_t|,\\ & q_{\alpha }(y_{t+1}|Z_t)={\beta }_{0\alpha }+{\beta }_{1\alpha }{q}_{\alpha }(y_t|Z_{t-1})+{\beta }_{2\alpha }\max (0,y_t)+{\beta }_{3\alpha }\min (0,y_t),\end{array}\text{\hspace{1em}(13.46)}$$

其中 $q_{\alpha }(y_t|z_{t-1})$ 是滞后的 α-分位数。如果 ${\beta }_{1\alpha }>0$，该设定与被预测变量的 α-分位数中的持续性相一致。请注意，让系数依赖于 α 是很重要的。例如，在许多金融时间序列中观察到的尾部动态往往具有高度持续性，可以通过令 α 接近 0（左尾）或 1（右尾）来捕捉。相反，对于此类序列，通常发现由中位数（α = 0.5）所捕捉的分布中心的条件分布几乎不存在持续性。