13.4.2 非参数和半参数密度估计

13.4.2 非参数与半参数密度估计

条件分布可以通过核密度方法进行完全非参数估计。根据贝叶斯规则，给定 $z$ 时 $y$ 的条件分布为

$$p(y|z)=\frac{p(y,z)}{p(z)}.\text{\hspace{1em}(13.38)}$$

因此，估计条件密度的标准方法是结合两个密度估计——一个用于 $p(y,z)$，一个用于 $p(z)$。对于一个随机的 $(k\times 1)$ 向量 $Z$

图 13.7：由两状态马尔可夫切换模型隐含的每日美国股市收益的一步前条件波动率估计的时间序列图。

以及观测值 $\{z_t\},t=1,...,T$，任意点 $z$ 处的联合密度可以通过该点周围的加权平均来估计：

$${\hat{p}}_Z(z)=\frac{1}{T{b}^k}\sum _{t=1}^{T}K\left(\frac{z_t-z}{b}\right),\text{\hspace{1em}(13.39)}$$

其中多元核 $K$ 是非负的，积分为 1，并且通常假定为对称的。为了允许使用不同的带宽，可以采用乘积核：

$${\hat{p}}_Z(z)=\frac{1}{T{b}_1{b}_2\cdot \cdot \cdot b_k}\sum _{t=1}^{T}K\left(\frac{z_{1t}-z_1}{b_1}\right)K\left(\frac{z_{2t}-z_2}{b_2}\right)\times \cdot \cdot \cdot \times K\left(\frac{z_{kt}-z_k}{b_k}\right).\text{\hspace{1em}(13.40)}$$

当 $Z$ 中不同变量的尺度不同时，为每个变量选择各自的带宽会很有用。(13.40) 中的乘积核还确保了条件变量核使用上的内在一致性，因为相同的核出现在 (13.38) 近似式的分子与分母中。

一些方法将纯参数方法和纯非参数方法相结合。Gallant 和 Nychka (1987) 提出了一种他们称之为半非参数 (SNP) 的方法来构建条件密度。他们提出该方法的动机比构建预测密度更为广泛——这是一种用于稳健极大似然估计的一般方法——但对于这个问题也是一种有用的程序。其思路是构造均值和方差的模型，正如 13.2 节所述，然后对标准化数据的密度应用级数近似。注意，均值、方差和分布在单一的极大似然框架中同时被估计。

SNP 方法通过级数方法来近似密度 ${\varphi }_Y$。Gallant 和 Nychka (1987) 考虑了多种类型的级数，但此处我们将阐述限制在最流行的版本上，即使用 Hermite 多项式的版本。密度可以写成

$$p_{{\eta }_{t+1}}^{\mathrm{SNP}}=\frac{c^{-1}}{{\sigma }_{t+1|t}}{\left(\sum _{i=0}^m{\omega }_i{\eta }_{t+1}^i\right)}^2\varphi ({\eta }_{t+1}),\text{\hspace{1em}(13.41)}$$

其中 $\varphi$ 是标准正态分布，${\eta }_{t+h}={\sigma }_{t+1|t}^{-1}(y_{t+1}-{\mu }_{t+1|t})$。例如，如果用 $\beta z_t$ 来近似均值，并假设方差为常数 ${\sigma }^2$，则得到 ${\eta }_{t+1}={\sigma }^{-1}(y_{t+1}-{\beta }^{\prime }{z}_t)$。归一化常数 $c=$ $\begin{array}{r}\int {\left({\sum }_{i=0}^m{\omega }_i{\eta }_{t+1}^i\right)}^2\varphi ({\eta }_{t+1})d{\eta }_{t+h}\end{array}$ 确保 $\begin{array}{r}\int d{\mathbf{p}}_{{\eta }_{t+1}}^{\mathrm{SNP}}d{\eta }_{t+1}=1\end{array}$。对标准正态项 $\varphi ({\eta }_{t+1})$ 上权重的平方保证了密度处处非负。此类模型的参数估计涉及一个有约束的极大似然问题，

$$(\hat{\beta },{\hat{\sigma }}^2,{\hat{\omega }}_1,\dots ,{\hat{\omega }}_m)=\arg \max T^{-1}\sum _{t=0}^{T-1}\log \left[\frac{c^{-1}}{\hat{\sigma }}(\sum _{i=0}^m{\omega }_i{\eta }_{t+1}^i{)}^2\varphi ({\eta }_{t+h})\right].\text{\hspace{1em}(13.42)}$$

如 (13.42) 所述，权重 ${\omega }_i$ 仅在相差一个标量因子的意义下是可识别的，因此通常使用归一化条件 ${\omega }_0=1$。如果令 $m=0$，则显然该方法嵌套了标准的准极大似然估计。还需注意 $c$ 是权重的函数。例如，如果 $m=1$，则

\begin{array} { l } { \displaystyle c = \int \left( \sum _ { i = 0 } ^ { m } \omega _ { i } \eta ^ { i } \right) ^ { 2 } \phi ( \eta ) d \eta } \\ { \displaystyle } \\ { \displaystyle } \\ { \qquad = \int ( 1 + \omega _ { 1 } \eta ) ^ { 2 } \phi ( \eta ) d \eta } \\ { \displaystyle } \\ { \displaystyle } \\ { \qquad = \int ( 1 + \omega _ { 1} ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + 2 \omega _ { 1} \eta ) \phi ( \eta ) d \eta } \\ { \qquad = ( 1 + \omega _ { 1} ^ { 2 } ) . \end{array}

剩下的问题是如何选择多项式的阶数 $m$。可以采用 AIC 或 BIC 等标准的模型选择程序。Coppejans 和 Gallant (2002) 还建议使用交叉验证方法。

图 13.8 展示了在 1990–2015 年期间对 S&P500 指数每日美国股市收益拟合的 SNP 密度。该模型允许条件波动率具有 GARCH 动态，并假设均值为常数。我们展示了在高波动率的一天（左侧面板）和低波动率的一天（右侧面板）对应 $m=1,5,10$ 的结果。$m=5,$ 、$10$ 的密度明显比叠加在图上的高斯密度 $(m=0)$ 更平坦。

SNP 方法的扩展允许权重 ${\omega }_i$ 依赖于一组条件变量；详细阐述及应用可参见 Gallant 和 Tauchen (1989)。如上所述，由条件 z 变量引起的 y 的所有变化均源于对条件均值的中心化处理。然而，这些扩展也允许中心化和标准化结果的方差以及密度依赖于条件信息。

m = 5，低波动率（第 5 百分位数）

m = 10，高波动率（第 95 百分位数）

m = 10，低波动率（第 5 百分位数） 图 13.8：m = 1, 5, 10 在高波动率和低波动率水平下的半非参数（SNP）密度图。

SNP 方法已在诸多实证研究中被应用。Harrison 和 Zhang (1999) 使用预期股票收益和条件波动率模型，运用 SNP 方法对股票在长期视角下的风险-收益权衡进行建模；而 Gallant、Rossi 和 Tauchen (1992) 则使用该方法对股票价格变动与交易量之间的关系进行建模。