13.4.1.2 正态混合

13.4.1.2 正态混合分布

正态混合分布假设 $y_{t+1}$ 是高斯分量的混合：

$$y_{t+1}={\mu }_{s_{t+1}}+{\sigma }_{s_{t+1}}{\eta }_{t+1},{\eta }_{t+1}\sim \mathrm{ind}\mathrm{N}(0,1),\text{\hspace{1em}(13.32)}$$

其中 ${\mu }_{s_{t+1}}$ 是在状态 $s_{t+1}$ 下的条件均值，而 ${\sigma }_{s_{t+1}}$ 是状态 $s_{t+1}$ 下的波动率。状态变量 $S_{t+1}$ 取有限个值，$S_{t+1}\in \{1,\dots ,K\}$，通常假设其由一阶齐次马尔可夫链生成：

$$\mathrm{Pr}(s_{t+1}=i\mid s_t=j)=p_{ij}.\text{\hspace{1em}(13.33)}$$

注意正态分布变量的加权和（仍为正态分布）与正态分布的混合之间的关键区别。高斯混合分布不是高斯分布。相反，它们类似于复合彩票：首先自然抽取一个状态 $s_{t+1}$，然后从该状态分布中抽取一个结果。在每个时点上只出现其中一个状态，但事先并不知道哪一个会出现。这一性质可用于构建灵活的密度预测。

表 13.2： 两状态马尔可夫转换模型对美国日度股票市场收益率（1990–2015年）的估计。

图 13.5：拟合于美国日度股票市场收益率的两状态马尔可夫转换过程的密度图，使用四个不同的两状态概率权重。

接下来，我们对 1990–2010 年期间的美国日度股票收益率（即用于生成图 13.1 中波动率图的相同数据）估计一个两状态马尔可夫转换模型。该模型的参数估计如表 13.2 所示；估计结果表明，状态二是低均值、高波动率的区制，而状态一是高均值、低波动率的状态。从状态转移概率可以看出，两种状态都具有高度的持续性，但高均值、低波动率状态的持续性（${\hat{p}}_{11}=0.988$）明显高于低均值、高波动率状态（${\hat{p}}_{22}=0.971$）。

图 13.5 展示了对状态一取四个不同概率值（即 $p_1=\{0,0.25,0.5,1\}$）时该模型所隐含的密度。当 $p_1=0$ 或 $p_1=1$ 时，密度是高斯的，并且仅因为状态二的标准差远高于状态一而有所不同。然而，当 $p_1=0.25$ 或 $p_1=0.5$ 时，可以清楚地看到峰度的存在，分布更为尖峰，且尾部衰减比正态分布更慢。

图 13.6：均值参数为 ${\mu }_1=-0.5\%$ 和 ${\mu }_2=1\%$，波动率参数与图 13.5 相同的马尔可夫转换过程的密度图。

为了进一步突出这一点，图 13.6 给出了 $p_1=0.25$ 和 $p_1=0.5$ 的两个混合分布，使用与前一图相同的波动率参数，但设定 ${\mu }_1=-0.5\%$ 和 ${\mu }_2=1\%$。通过使用这种更为极端的均值参数差异，我们可以清楚地看到两状态混合分布是右偏的。

事实上，混合分布的密度是各状态密度以表示在当前信息条件下处于相应状态概率的权重进行的加权平均：

$$p_Y(y_{t+1}\mid Z_t)=\sum _{j=1}^K{p}_Y(y_{t+1}\mid s_{t+1}=j,Z_t)P(s_{t+1}=j\mid Z_t).\text{\hspace{1em}(13.34)}$$

给定 (13.33) 中的状态转移概率，条件状态概率可由全概率公式推导得出：

$$\mathrm{Pr}(s_{t+1}=j\mid Z_t)=\sum _{i=1}^K{p}_{ij}P(s_t=i\mid Z_t).\text{\hspace{1em}(13.35)}$$

混合分布的矩很容易推导。例如，马尔可夫转换过程 (13.32)–(13.33) 的中心化无条件矩由下式给出

$$E\left[(y_{t+1}-\mu {)}^n\right]=\sum _{i=1}^K{\pi }_i\sum _{j=0}^n{}_n{C}_j{\sigma }_i^{j}E[{\eta }_t^j]({\mu }_i-\mu {)}^{n-j},\text{\hspace{1em}(13.36)}$$

其中 ${}_n{C}_j=n!/((n-j)!j!)$，${\pi }_i$ 是处于状态 $i$ 的稳态概率；参见 Timmermann (2000)。

假设 $k=2$，即存在两个状态，并假设创新项 $\eta$ 服从正态分布。则稳态概率由下式给出

$${\pi }_1=\frac{1-p_{22}}{2-p_{11}-p_{22}},{\pi }_2=\frac{1-p_{11}}{2-p_{11}-p_{22}}.\text{\hspace{1em}(13.37)}$$

$y$ 的无条件均值和方差的形式为

$$\begin{array}{l}\mu ={\pi }_1{\mu }_1+{\pi }_2{\mu }_2,\\ {\sigma }^2={\pi }_1{\sigma }_1^2+(1-{\pi }_1){\sigma }_2^2+(1-{\pi }_1){\pi }_1({\mu }_2-{\mu }_1{)}^2.\end{array}$$

这并不是 ${\sigma }_1^2$ 和 ${\sigma }_2{}^2$ 的简单加权平均，还取决于均值之差 $({\mu }_1-{\mu }_2){}^2$

类似地，中心化偏度由下式给出

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{skew}=E\left[(y-\mu {)}^3\right]\\ & ={\pi }_1(1-{\pi }_1)({\mu }_1-{\mu }_2)\left\{3({\sigma }_1^2-{\sigma }_2^2)+(1-2{\pi }_1)({\mu }_2-{\mu }_1^2{)}^2\right\}.\end{array}$$

要使其不为零，需要 ${\mu }_1\ne {\mu }_2$

条件矩可以通过使用条件状态概率 $p_{1t+1|t}$（例如(13.35)中的那些）来推导，而不是稳态概率 ${\pi }_i$。作为说明，图13.7使用平滑状态概率绘制了美国股市每日收益率的条件一步波动率时间序列。鉴于表13.2中平均收益估计的差异相对较小，波动率估计接近于 ${\sigma }_{t+1|t}=[(1-p_{1t+1|t}){\sigma }_2^2+p_{1t+1|t}{\sigma }_1^2{]}^{1/2}$，因此实际上以 ${\sigma }_1$ 和 ${\sigma }_2$ 为界。图中的阶梯状行为反映了平滑状态概率的变化——即在大多数时候，潜在状态都被相当精确地估计。