13.4.1 参数化密度模型

13.4.1 参数密度模型

接下来，我们介绍一些应用广泛且特别在金融领域得到应用的流行参数密度模型，包括学生 t 分布、双片正态分布和正态混合分布。

13.4.1.1 非高斯密度模型

即使考虑了波动率的动态变化，标准化残差 ${\eta }_{t+1|t}$ 通常仍然被发现不服从正态分布。为了刻画这一现象，学者们提出了多种替代的参数密度模型。这些模型通常试图通过灵活而简洁（仅依赖于少数经过精心选择的参数）的密度函数来捕捉预测误差的"典型特征"，如偏度或厚尾。我们简要介绍一些在生成经济和金融时间序列预测方面被证明有用的参数方法。

Hansen（1994）提出了具有零均值和单位方差的偏斜 t 分布，其形式如下

$$p({\eta }_{t+1}|\gamma ,\lambda )=\{\begin{array}{ll}bc{\left(1+\frac{1}{\gamma -2}{\left(\frac{b{\eta }_{t+1}+a}{1-\lambda }\right)}^2\right)}^{-(\gamma +1)/2},& {\eta }_{t+1}<-a/b,\\ bc{\left(1+\frac{1}{\gamma -2}{\left(\frac{b{\eta }_{t+1}+a}{1+\lambda }\right)}^2\right)}^{-(\gamma +1)/2},& {\eta }_{t+1}\ge -a/b.\end{array}\text{\hspace{1em}(13.28)}$$

偏度参数 $(\lambda )$ 和峰度参数 $(\gamma )$ 受到如下限制：$2<\gamma <\infty$，$-1<\lambda <1$，而标量常数 $a$、$b$、$c$ 则是 $\lambda$ 和 $\gamma$ 的函数：

$$\begin{array}{rl}a& =4\lambda c\left(\frac{\gamma -2}{\gamma -1}\right),\\ b^2& =1+3{\lambda }^2-a^2,\\ c& =\frac{\Gamma ((\gamma +1)/2)}{\sqrt{\pi (\gamma -2)\Gamma (\gamma /2)}}.\end{array}$$

其中 $\Gamma$ 是伽马函数。(13.28) 式中的参数可以推广为依赖于滞后创新项的形式，例如 $\lambda ({\epsilon }_{t-1})$、$\gamma ({\epsilon }_{t-1})$，这将构成一个自回归条件密度模型。

双片正态分布假设被预测变量具有如下密度函数：

$$p_Y(y_{t+1}|Z_t)=\{\begin{array}{ll}\frac{\exp (-(y_{t+1}-{\mu }_{t+1|t}{)}^2/2{\sigma }_1^2)}{\sqrt{2\pi }({\sigma }_1+{\sigma }_2)/2}& \text{当 }{y}_{t+1}\le {\mu }_{t+1|t},\\ \frac{\exp (-(y_{t+1}-{\mu }_{t+1|t}{)}^2/2{\sigma }_2^2)}{\sqrt{2\pi }({\sigma }_1+{\sigma }_2)/2}& \text{当 }{y}_{t+1}>{\mu }_{t+1|t}.\end{array}\text{\hspace{1em}(13.29)}$$

该分布的均值和方差为：

$$E_t[y_{t+1}]={\mu }_{t+1|t}+\sqrt{\frac{2}{\pi }}({\sigma }_2-{\sigma }_1),\text{\hspace{1em}(13.30)}$$

$${\mathrm{Var}}_t(y_{t+1})=\left(1-\frac{2}{\pi }\right)({\sigma }_2-{\sigma }_1{)}^2+{\sigma }_1{\sigma }_2.\text{\hspace{1em}(13.31)}$$

若 ${\sigma }_2>{\sigma }_1$，则该分布为正偏，使得较大的正值比较大的负值更可能出现。当 ${\sigma }_1\ne {\sigma }_2$ 时，该分布具有厚尾特征。相对于标准正态分布，该分布仅引入了一个额外参数，且在引入一个比例因子后仍可使用标准正态分布的临界值。英格兰银行曾使用这种方法来生成所谓的扇形图（fan charts），用以传达其宏观经济预测周围的不确定性程度。

对于这一分布族，所谓的风险平衡，即经历低于均值结果的概率，由 $\mathrm{Pr}(y_{t+1}\le {\mu }_{t+1|t})={\sigma }_1/({\sigma }_1+{\sigma }_2)$ 给出。当 ${\sigma }_1={\sigma }_2$ 时，该概率等于 0.5，但若低于均值的结果的波动率高于高于均值的结果的波动率，则该概率会变大。

图 13.4：$\mu =0$、${\sigma }_1=2$、${\sigma }_2=1$ 的双片指数密度

作为该模型的一个示例，图 13.4 将 $\mu =0$、${\sigma }_1=2$、${\sigma }_2=1$ 的双片指数密度与标准正态分布进行了比较。两个密度差异显著：相对于对称的正态分布，双片密度对负值表现出明显较慢的衰减速度，而对正值则表现出较快的衰减速度。因此，这种类型的双片密度可用于捕捉分布中显著的左偏特征。