13.3 使用已实现波动率测度的预测

13.3 使用已实现波动率测度进行预测

基于以高于观察期频率采集的数据,存在其他衡量方差的方法。7 这些测度可以从连续时间表示形式中获得启发,例如具有瞬时漂移 ${\mu }_t$ 和波动率 ${\sigma }_t$ 的广义维纳过程:

$$d{y}_t={\mu }_{t}dt+{\sigma }_{t}d{W}_t,\text{\hspace{1em}(13.20)}$$

其中 $d{W}_t$ 是标准维纳过程的增量。例如,如果 $y_t=\log (P_t)$,且 $P_t$ 是金融资产的价格,则 $d{y}_t$ 表示该资产的连续复利收益率。假设 ${\mu }_t$ 和 ${\sigma }_t$ 均独立于 $W_t$,且

$$y_t\mid {\bar{\mu }}_t,{\mathrm{IV}}_t\sim \mathrm{N}({\bar{\mu }}_t,{\mathrm{IV}}_t),\text{\hspace{1em}(13.21)}$$

其中 ${\bar{\mu }}_t={\int }_{t-1}^t{\mu }_{s}ds$,而 ${\mathrm{IV}}_t={\int }_{t-1}^t{\sigma }_s^{2}ds$ 度量了积分方差,可以将其视为区间 $[t-1,t]$ 上方差的真实值;参见 Barndorff-Nielsen 和 Shephard(2002)。积分方差是不可观测的,但可以通过在网格 $t-1<{\tau }_0<{\tau }_1<\cdots <{\tau }_N=t$ 上以越来越小的间隔对 $y_t$ 进行采样来获得其估计值,其中最长的间隔趋于零,即当网格点数量 $N$ 趋于无穷大($N\to \infty$)时,${\max }_{1\le j\le N}|{\tau }_j-{\tau }_{j-1}|\to 0$。

二次变差定义为

$${\mathrm{QV}}_t=\underset{N\to \infty }{\lim }\sum _{j=1}^N(y_{{\tau }_j}-y_{{\tau }_{j-1}}{)}^2.\text{\hspace{1em}(13.22)}$$

这是一个不可行的测度对象,因为我们永远无法观测到当采样点数量趋于无穷大(即 $N\to \infty$)时的极限值。对于有限间隔数 $N_t$ 的等价格度量称为已实现方差,定义为期内变化的平方和:

$${\mathrm{RV}}_t=\sum _{j=1}^{N_t}(y_{{\tau }_j}-y_{{\tau }_{j-1}}{)}^2.\text{\hspace{1em}(13.23)}$$

Barndorff-Nielsen(2002)等作者已证明,对于半鞅——一类包含布朗运动和泊松过程的广泛过程族——${\mathrm{RV}}_t$ 是 ${\mathrm{QV}}_t$ 的一致估计量。反过来,对于具有时变波动率的过程(例如(13.20)式),${\mathrm{QV}}_t$ 等于 ${\mathrm{IV}}_t$。进一步的讨论参见 Hansen 和 Lunde(2011)。

近期的实证研究使用 RV 估计量来预测资产收益的未来波动率。然而,在计算 RV 之前必须解决一些实际问题。原则上,$\mathrm{RV}$ 对 $\mathrm{QV}$(从而对 $\mathrm{IV}$)的近似程度会随着 $N_t$ 增大和采样频率提高而改善。然而,在实践中,数据的采样频率存在上限。以股票收益为例。在非常高的频率下,市场微观结构效应会给估计量(13.23)引入噪声,因此更频繁地采样股票价格并不一定能改善 $\mathrm{RV}$ 近似 $\mathrm{QV}$ 的能力。相反,应将更频繁采样的收益与日益增大的市场微观结构效应进行权衡,最优采样频率将取决于标的资产的交易量以及各种市场微观结构因素。在某些应用中,资产收益以五分钟为间隔进行采样,并据此获得日已实现方差的估计量,因此在典型交易日上 $N_t$ 略少于 100 个观测值。在月度频率上,通常使用日平方收益来获得月度已实现方差的估计量,此时 $N_t$ 平均为 22 个观测值。

图 13.3 上方的窗口展示了采用五分钟采样构建的 S&P500 指数日已实现波动率(已实现方差的平方根)的走势图(数据来自牛津-曼彻斯特研究所)。可以清晰地看到波动率聚集特征以及 2008 年秋季等时期的异常值。图 13.3 下方的窗口展示了由对已实现波动率序列拟合自回归模型得到的预测波动率。尽管这些预测未能捕捉到已实现序列中的异常值,但它们与已实现序列的变动基本一致,并识别出该序列具有高度的持续性。

将 ${\mathrm{RV}}_t$ 视为方差 ${\sigma }_t^2$ 的一个观测到的(尽管带有噪声的)估计量,我们可以直接使用许多标准的预测工具来预测未来波动率 ${\sigma }_{t+1}^2$。通常,$\mathrm{RV}$ 在日度及更长的区间上表现出高度持续性,其自相关函数衰减缓慢。为了刻画这一特性,一种选择是使用自回归分数整合移动平均(ARFIMA)模型,将 $\log {\mathrm{RV}}_t$ 建模为长记忆过程,形式如下:

AR 预测

图 13.3:已实现波动率与由滞后阶数通过 AIC 选取的自回归模型预测值的比较。

$$\varphi (L)(1-L{)}^d\left(\frac{1}{2}\log ({\mathrm{RV}}_t)-\mu \right)={\eta }_t,d\in [0,1],$$

其中 ${\eta }_t$ 是白噪声。如果 $d=0$，这就等同于对 $\log (R{V}_t)$ 建立一个简单的 AR 模型，其最大特征值可能会相当大，因为已实现方差具有持续性。

处理波动率度量中测量误差的一种方法是考虑替代波动率估计量中的联合动态。Engle 和 Gallo（2006）基于日内绝对收益率、日内最高最低价之差以及日内已实现波动率的联合动态，建立了一个乘积误差预测模型。

另一种可能性是将 RV 项加入 GARCH 模型中。例如，GARCH(1,1) 模型可以扩展为

$${\sigma }_{t+1|t}^2=\omega +{\alpha }_1{\epsilon }_t^2+{\beta }_1{\sigma }_{t|t-1}^2+\gamma R{V}_t.\text{\hspace{1em}(13.24)}$$

正如 Hansen 和 Lunde（2011）所指出的，这种方法具有吸引力，因为 GARCH 估计所基于的滤波通常基于以相对较低频率采样的过去收益率，而 $R{V}_t$ 所基于的滤波则可能与之大不相同，它是基于以不同（更高）频率的抽样。