13.2.3 GARCH模型的改进

13.2.3 GARCH模型的改进

文献中提出了许多对(13.7)式的改进方法，以考虑正负波动率冲击的非对称效应。例如，阈值GARCH模型允许负冲击和正冲击对未来波动率产生不同的影响：

$${\sigma }_{t+1|t}^2=\omega +{\alpha }_1{\epsilon }_t^2+\lambda {\epsilon }_t^{2}1\left({\epsilon }_t<0\right)+{\beta }_1{\sigma }_{t|t-1}^2,\text{\hspace{1em}(13.13)}$$

其中1(·)是指示函数，若括号中的条件成立则等于1，否则为0。这里负冲击对条件方差的额外新闻效应为λ。在实证研究中经常发现λ为正，因为负冲击对条件波动率的影响强于正冲击。这有时被称为杠杆效应。3 当正负冲击对未来波动率的影响不同时，用(13.13)进行波动率预测需要预测正冲击与负冲击发生的概率。在假设负冲击与正冲击同等可能出现的条件下，即$\mathrm{Pr}({\eta }_t<0)=\mathrm{Pr}({\epsilon }_t<0)=0.5$，由(13.13)可得

$$\begin{array}{rl}& {\sigma }_{t+1\mid t}^2=\omega +({\alpha }_1+0.5\lambda ){\epsilon }_t^2+\lambda {\epsilon }_t^2[1\left({\epsilon }_t<0\right)-0.5]+{\beta }_1{\sigma }_{t\mid t-1}^2\\ & ={\sigma }^2+({\alpha }_1+0.5\lambda +{\beta }_1)\left[{\sigma }_{t\mid t-1}^2-{\sigma }^2\right]\\ & +({\alpha }_1+0.5\lambda ){\sigma }_{t\mid t-1}^2[{\eta }_t^2-1]+\lambda {\epsilon }_t^2[1\left({\epsilon }_t<0\right)-0.5],\end{array}\text{\hspace{1em}(13.14)}$$

其中现在${\sigma }^2=\omega (1-{\alpha }_1-0.5\lambda -{\beta }_1{)}^{-1}$。利用对$i\ge 1$有$E_t[{\eta }_{t+i}^2-1]=0$和$E_t[1({\epsilon }_{t+i}<0)-0.5]=0$，我们得到一期条件方差的h步向前预测为（参见Andersen等人，2006年）

$${\sigma }_{t+h\mid t}^2={\sigma }^2+({\alpha }_1+0.5\lambda +{\beta }_1{)}^{h-1}\left({\sigma }_{t+1\mid t}^2-{\sigma }^2\right).\text{\hspace{1em}(13.15)}$$

与前面GARCH(1,1)模型(13.11)式的多步预测公式相比，阈值GARCH模型(13.15)式的多步预测基于不同的均值，并可能具有不同的持续性，即${\alpha }_1+0.5\lambda +{\beta }_1$相对于${\alpha }_1+{\beta }_1$，但需要注意的是，由于包含了非对称项，两个模型中${\alpha }_1$和${\beta }_1$的估计值可能会有所不同。

由于条件方差不能为负，条件方差模型必须对方差施加非负性约束。在实践中对于GARCH(1,1)模型这样的设定通常不是问题，因为波动率通常具有高度持续性，且ω、${\alpha }_1$和${\beta }_1$都明显为正。另一个值得关注的问题是条件方差可能接近于一个单整过程，即${\alpha }_1+{\beta }_1$接近于1。

处理条件方差非负性约束的一种方法是改为对波动率的对数建模，因为对数不受此类问题的约束。这产生了Nelson（1991年）的EGARCH模型：

$$\log ({\sigma }_{t+1|t}^2)=\omega +{\alpha }_1(|{\eta }_t|-E\left[|{\eta }_t|\right])+{\beta }_1\log ({\sigma }_{t|t-1}^2)+\lambda {\eta }_t.\text{\hspace{1em}(13.16)}$$

同样，该模型允许正负冲击的非对称新闻效应：正冲击$({\eta }_t>0)$对对数条件方差的影响为$\lambda +{\alpha }_1$，而负冲击的影响为$\lambda -{\alpha }_1$。

EGARCH设定的一个重要优点是无需对参数施加约束以确保条件波动率保持非负。相反，(13.16)的一个缺点是，虽然它可以方便地给出h步对数方差log$({\sigma }_{t+h|t}^2)$的条件预测，但通常我们关心的目标不是预测方差的对数，而是方差本身${\sigma }_{t+h|t}^2$。在EGARCH模型下，${\sigma }_{t+h|t}^2$没有解析表达式。相反，可以通过蒙特卡洛模拟一步密度预测序列来生成多步波动率预测。这需要使用数值方法，因此更为复杂。4

GARCH类模型可以很容易地推广，以允许来自其他状态变量$z_t$的可预测性，或让波动率预测影响条件均值的预测。例如，Glosten等人（1993年）考虑了股票风险与收益权衡的EGARCH类模型：

$$\begin{array}{c}{y}_{t+1}={\mu }_0+{\mu }_1{\sigma }_{t+1\mid t}+{\epsilon }_{t+1},{\epsilon }_{t+1}\sim \mathrm{N}(0,{\sigma }_{t+1\mid t}^2),\\ \log ({\sigma }_{t+1\mid t}^2)={\omega }_0+{\beta }_1\log ({\sigma }_{t\mid t-1}^2)+{\delta }_1\left|\frac{{\epsilon }_t}{{\sigma }_{t\mid t-1}}\right|+{\delta }_2\frac{{\epsilon }_t}{{\sigma }_{t\mid t-1}}+{\delta }_3{z}_t.\end{array}\text{\hspace{1em}(13.17)}$$

在该模型中，对数条件方差 ${\sigma }_{t+1|t}^2$ 取决于状态变量 $z_t$、滞后条件方差 ${\sigma }_{t|t-1}^2$ 以及当前创新项 ${\epsilon }_t$，其影响可能取决于冲击是正向还是负向。此外，条件均值受条件波动率预测的影响——这一现象通常被称为 ARCH-in-mean（ARCH 均值）效应。这与投资者的预期相一致：预测波动率越高，投资者所期望的回报也越高。

迄今为止所描述的波动率模型的一个共同特征是，冲击对未来平均波动率的影响衰减得非常快，即以指数速率衰减，这一点可从公式 (13.11) 和 (13.15) 中看出。对绝对或平方证券收益的实证研究有时发现，它们的自相关以较慢的双曲率衰减而非指数率衰减，这表明波动率过程中存在长记忆性。⁵ 为了刻画这一特征，Baillie、Bollerslev 和 Mikkelsen (1996) 针对条件方差提出了所谓的分数阶整合 FIGARCH(1,d,1) 过程：

$${\sigma }_{t+1|t}^2=\omega +{\beta }_1{\sigma }_{t|t-1}^2+\left[(1-{\beta }_{1}L-(1-{\alpha }_{1}L-{\beta }_{1}L))(1-L{)}^d\right]{\epsilon }_t^2.$$

当 $0<d<1$ 时，方差的自相关表现为缓慢衰减。这些作者还表明，方差预测可以通过以下形式的链式法则递归生成：

$${\sigma }_{t+h|t+h-1}^2=\frac{\omega }{1-{\beta }_1}+\lambda (L){\sigma }_{t+h-1|t+h-2}^2,h>0,$$

其中多项式 $\lambda (L)=1-(1-{\beta }_{1}L{)}^{-1}(1-{\alpha }_{1}L-{\beta }_{1}L)(1-L{)}^d$ 的系数按如下方式递归生成：⁶

$$\begin{array}{rl}& \\ & {\lambda }_1={\alpha }_1+d,\\ & {\lambda }_j={\beta }_1{\lambda }_{j-1}+\left[(j-1-d)j^{-1}-({\alpha }_1+{\beta }_1)\right]{\delta }_{j-1},j\ge 2,\\ & {\delta }_j={\delta }_{j-1}(j-1-d)j^{-1}.\end{array}$$

对于许多 GARCH 模型，多步预测密度无法以闭式形式获得。在这种情况下，可以使用数值方法来生成多步波动率预测。正如 Andersen 等人 (2006) 所解释的，这种预测可以通过使用一步条件分布的卷积来计算，而一步条件分布通常由 GARCH 模型完全确定：

参数估计：应用于标准普尔 500 指数每日股票收益的 GARCH(1,1) 和 GJR(1,1) 模型。

$$\begin{array}{rl}& p_Y(y_{t+h}|Z_t)=\int \int \cdots \int p_Y(y_{t+h}|z_{t+h-1})p_Y(y_{t+h-1}|z_{t+h-2})\cdots P_Y(y_{t+1}|Z_t)\\ & \times d{y}_{t+h-1}\dots d{y}_{t+1}.\end{array}$$

该过程是抽取标准化残差 ${\eta }_{t+1}^b,\dots ,{\eta }_{t+h}^b$，然后使用所选 GARCH 模型 $g$ 递归生成条件波动率 ${\sigma }_{t+h+1|t+h}^b$ 的值：

$$\begin{array}{rl}& y_{t+j+1}^b=\mu +{\sigma }_{t+j+1|t+j}^b{\eta }_{t+j+1}^b,\\ & {\sigma }_{t+j+1|t+j}^b=g\left(\{{\sigma }_{t+i|t+i-1}^b,{\eta }_{t+i}^b{\}}_{i=1}^j;\theta \right).\end{array}$$

这便生成了预测密度 $p_Y(y_{t+h}|Z_t)$ 的一个简单蒙特卡洛估计。例如，在给定当前信息的条件下，$h$ 步前条件方差 ${\sigma }_{t+h+1|t}^2$ 的估计可以通过对上述方程进行迭代并对蒙特卡洛模拟结果取平均得到：

$${\hat{\sigma }}_{t+h+1|t}^2=\frac{1}{B}\sum _{b=1}^B{\left({\sigma }_{t+h+1|t}^b\right)}^2,b=1,\dots ,B.$$

在最简单的情况下，${\eta }_{t+i}^b$ 是从正态分布中抽取的。然而，由于创新项不必服从高斯分布，另一种做法是使用估计得到的标准化残差 ${\hat{\eta }}_t=(y_t-{\hat{\mu }}_{t|t-1})/{\hat{\sigma }}_{t|t-1}$ 来构建残差的累积分布函数 ${\hat{P}}_{\eta }$，然后从该分布中有放回地抽取。这样做有助于捕捉标准化残差的偏度和厚尾等特征。

应用于许多证券收益的 GARCH 模型的实证估计表明，条件方差具有高度的持续性。作为一个例子，我们对 1990:01:01–2015:03:31 期间标准普尔 500 指数的每日股票收益估计了 GARCH(1,1) 和 GJR 模型（分别由公式 (13.8) 和 (13.17) 描述）。所得参数估计报告于表 13.1 中。波动率过程具有高度持续性，GARCH(1,1) 的估计值为 ${\hat{\alpha }}_1=0.110$、${\hat{\beta }}_1=0.877$，其和 (0.987) 接近于 1。图 13.1 展示了相关（样本内）条件一步前波动率预测的曲线图。2005 年前后以及 2012 年之后的低波动率时期，与 2008 年秋季等波动率极高的时期交替出现。GARCH(1,1) 和 GJR(1,1) 的估计表现出共同的趋势，并且总体上相似。

图 13.1：由 GARCH(1,1) 和 GJR 模型对每日股票市场收益率进行拟合所生成的一步向前条件波动率预测。

图 13.2 绘制了在 2014 年中的几个月里，由 GARCH(1,1) 和 GJR 模型所隐含的条件波动率估计。聚焦于这一较短的样本，使我们能够更清晰地凸显这两个模型所给出的波动率估计之间的差异。在对收益率产生较大负向冲击的日子之后，差异最为显著，因为这些冲击对 GJR 模型的波动率预测影响要大于其对 GARCH(1,1) 模型所给出预测的影响。